Симметричная моноидальная категория

В теории категорий симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой операция тензорного произведения «настолько коммутативна, насколько это возможно». В симметричной моноидальной категории для любых объектов выбран изоморфизм $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$, причём все эти изоморфизмы вместе образуют естественное семейство.

Формальное определение

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой для любых двух объектов выбран изоморфизм $\gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A$, причём $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id$, а также коммутирует следующая шестиугольная диаграмма:

Примеры

• Любая декартово замкнутая категория является симметричной замкнутой моноидальной. Это даёт такие примеры, как Set и Cat (категория множеств и категория малых категорий).
• Векторные пространства над фиксированным полем k с тензорным произведением образуют моноидальную категорию. Отображение $V\otimes W\to W\otimes V$, определенное на разложимых элементах вида $v\otimes w$ и продолженное по линейности, очевидным образом задаёт на ней структуру симметричной моноидальной категории.

Моноидальные категории с заузливанием

Моноидальная категория с заузливанием — это обобщение симметричной моноидальной категории; для неё уже не требуется, что $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}$. Однако вместо коммутативности одной шестиугольной диаграммы приходится требовать коммутативность двух:

В симметричном случае обе эти диаграммы также коммутируют, но коммутативность одной из них следует из коммутативности другой и свойства $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}$.

Название «моноидальная категория с заузливанием» (англ. braided monoidal category) произошло от группы кос (англ. braid group). Действительно, эти понятия глубоко связаны между собой. Для моноидальной категории с заузливанием, так же как и для обычной моноидальной категории, верна теорема о когерентности, утверждающая, что любая диаграмма, на стрелках которой написаны композиции $\gamma ,\alpha ,\lambda ,\rho ,e,\otimes ,{\text{Id}}$ и обратных к ним, коммутативна. Более точно, она утверждает, что в моноидальной категории с заузливанием B любые два естественно изоморфных функтора из Bⁿ в B, построенные из применений $\otimes$ к аргументам и скобок, естественно изоморфны единственным, каноническим образом. Каждой стрелке, на которой написано преобразование, составленное из указанных выше символов, можно сопоставить элемент группы кос (например, преобразованию $\gamma$ сопоставляется «перекрутка» двух нитей, легко видеть, что $\gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}\neq {\text{Id}}$). Оказывается, что два таких функтора естественно изоморфны, если им соответствует один и тот же элемент группы кос.

Симметричные моноидальные функторы

Моноидальный функтор F между симметричными моноидальными категориями C и D называется симметричным, если соответствующее ему естественное преобразование $\phi$ коммутирует с $\lambda$, то есть для любых A, B категории C коммутирует следующая диаграмма:

Симметричные моноидальные естественные преобразования

Моноидальное естественное преобразование между моноидальными функторами $(F,\Phi ,\phi )$ и $(G,\Gamma ,\gamma )$ между моноидальными категориями: $C\to D$ — это естественное преобразование $\alpha :C\to D$, такое что коммутируют следующие две диаграммы:

Для симметричных моноидальных естественных преобразований не требуется дополнительных условий, кроме того, что они действуют между симметричными моноидальными функторами.

Моноидальная эквивалентность

C и D — симметрично моноидально эквивалентные категории, если существуют симметричные моноидальные функторы $F:C\to D$, $G:D\to C$ и симметричные моноидальные естественные изоморфизмы $FG\Leftarrow 1_{C}$ и $GF\Leftarrow 1_{D}$.

Маклейн доказал теорему о том, что любая симметричная моноидальная категория моноидально (симметрично) эквивалентна строгой моноидальной (и симметричной) категории.

Также как определяется 2-категория малых категорий, можно определить 2-категории малых моноидальных категорий и малых симметричных моноидальных категорий, с соответствующими функторами и естественными преобразованиями.

Примечания и ссылки

• Kelly,G.M. «Basic Concepts of Enriched Category Theory», London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (C.U.P., 1982)
• Joyal, André; Street, Ross (1993). «Braided Tensor Categories». Advances in Mathematics 102, 20-78.
• John C. Baez, [http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2004/definitions.pdf Some De�nitions Everyone Should Know]
• Симметричные моноидальные категории на nLab