Тензорное произведение

Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т.д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств $A$ и $B$ есть линейное пространство, обозначаемое $A \otimes B$. Для элементов $a\in A$ и $b\in B$ их тензорное произведение $a \otimes b$ лежит в пространстве $A \otimes B$.

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Тензорное произведение линейных (векторных) пространств

Конечномерные пространства

Пусть $A$ и $B$ — конечномерные векторные пространства над полем $K$, $\{ e_i \}_{i=1\dots n}$ — базис в $A$, $\{ f_k \}_{k=1\dots m}$ — базис в $B$. Тензорным произведением $A \otimes B$ пространств $A$ и $B$ будем называть векторное пространство, порождённое элементами $e_i \otimes f_k$, называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение $a \otimes b$ произвольных векторов $a \in A,~b\in B$ можно определить, полагая операцию $\otimes$ билинейной:

$(\lambda a_1 + \mu a_2) \otimes b = \lambda\, a_1 \otimes b + \mu\, a_2 \otimes b,~~\lambda,\mu \in K$

$a \otimes (\lambda b_1 + \mu b_2) = \lambda\, a \otimes b_1 + \mu\, a \otimes b_2,~~\lambda,\mu \in K$

При этом тензорное произведение произвольных векторов $a$ и $b$ выражается как линейная комбинация базисных векторов $e_i \otimes f_k$. Элементы в $A \otimes B$, представимые в виде $a \otimes b$, называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойства

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства $C$ и билинейного отображения $\otimes^\prime: A \times B \to C$ существует единственный гомоморфизм $f: A \otimes B \to C$ такой, что

$\otimes^\prime = f \circ \otimes$

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в $A$ и $B$, так как все получающиеся при этом пространства $A \otimes B$ оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, произвольное билинейное отображение $L^2 \ni \varphi: A \times B \to C$ может быть определено как линейное отображение $L \ni \varphi: A \otimes B \to C$, причём достаточно задать его лишь на произведениях базисных векторов.

Пространства $\ L^2(A \times B, C)$ и $L(A\otimes B, C)$ являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространств

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть V₁, V₂, и V₃ — три векторных пространства. Тензорное произведение V₁ ⊗ V₂ ⊗ V₃, вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

$\varphi : V_1\times V_2\times V_3 \to V_1\otimes V_2\otimes V_3$

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение F из прямого произведения в векторное пространство W

$F:V_1\times V_2\times V_3\to W$

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

$F = L\circ\varphi$

где L — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если V₁, V₂, и V₃ — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

$V_1\otimes V_2\otimes V_3\cong V_1\otimes(V_2\otimes V_3)\cong (V_1\otimes V_2)\otimes V_3.$

В общем случае, тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств V_i, i ∈ I, определяется как универсальный объекст для полилинейных отображений из прямого произведения $\scriptstyle\prod_{i\in I} V_i.$

Пусть n — произвольное натуральное число. N-й тензорной степенью пространства V называется тензорное произведение n копий V:

$V^{\otimes n} \;\overset{\mathrm{def}}{=}\; \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_{n}.$

Функториальность

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть $A: U_1 \to U_2$, $B: W_1 \to W_2$ — линейные операторы. Тензорное произведение операторов $A\otimes B: U_1\otimes W_1 \to U_2\otimes W_2$ определяется по правилу

$(A\otimes B)(u\otimes w) = (A u)\otimes (B w),~~ u\in U_1,\,w\in W_1$

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.

Если матрицы операторов при некотором выборе базисов имеют вид

$\mathrm{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

$\mathrm{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1q} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & \cdots & b_{pq} \end{bmatrix}$

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

$\mathrm{A} \otimes \mathrm{B} = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{bmatrix}$

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Частные случаи

Тензорное произведение двух векторов

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} \rightarrow \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \\ a_4b_1 & a_4b_2 & a_4b_3\end{bmatrix}$

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} \rightarrow a_ib^j$

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, прямое произведение будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения векторов — второго, то есть с двумя значками) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

$P_i^{\ j} = a_ib^j$

$P_{ij}\ = a_ib_j$

$P^{ij}\ = a^ib^j$

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

Свойства

• $\dim A\otimes B = \dim A \cdot \dim B$

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

• Ассоциативность

$(A \otimes B)\otimes C \simeq A \otimes(B \otimes C)$

• Коммутативность

$A \otimes B \simeq B \otimes A$

• Линейность

$A \otimes (B \oplus C) \simeq (A\otimes B) \oplus (A \otimes C)$

$\oplus$ — внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулей

Пусть $A_1,A_2,\dots,A_n$ — модули над некоторым коммутативным кольцом $R$. Тензорным произведением модулей называется модуль $B$ над $R$, данный вместе с полилинейным отображением $f\colon A_1\times \dots \times A_n \to B$ и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля $C$ над $R$ и любого полилинейного отображения $g\colon A_1\times \dots \times A_n \to C$ существует единственный гомоморфизм модулей $h\colon B \to C$ такой, что диаграмма

коммутативна. Тензорное произведение обозначается $A_1 \otimes\ldots\otimes A_n$. Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль $M$, образующими которого будут n-ки элементов модулей $(x_1,\dots,x_n)$ где $x_i \in A_i$. Пусть $N$ — подмодуль $M$, порождаемый следующими элементами:

1. $(x_1,\dots,x_i + y_i,\dots,x_n) - (x_1,\dots,x_i,\dots,x_n) - (x_1,\dots,y_i,\dots,x_n)$
2. $(x_1,\dots,\lambda x_i,\dots,x_n) - \lambda(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)$

Тензорное произведение определяется как фактор-модуль $B=M/N$, класс $(x_1,\dots,x_n) + N$ обозначается $x_1 \otimes \dots \otimes x_n$, и называется тензорным произведением элементов $x_i$, a $f$ определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение $f\colon A_1\times \dots \times A_n \to B$ полилинейно. Докажем, что для для любого модуля $C$ и любого полилинейного отображения $g\colon A_1\times \dots \times A_n \to C$ существует единственный гомоморфизм модулей $h$, такой, что $g = h \circ f$.

В самом деле, так как $M$ свободен, то существует единственное отображение $h^*$, делающее диаграмму

коммутативной, а в силу того, что $g$ полилинейно, то на $N$ $h^*(N) = 0$, отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что $h\colon M/N \to C$, будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы $A_1 \otimes \dots \otimes A_n$, представимые в виде $x_1 \otimes \dots \otimes x_n$, называются разложимыми.

Если $f_i\colon A_i \to B_i$ — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

$f_1\otimes\dots\otimes f_n\colon A_1\otimes\dots\otimes A_n \to B_1\otimes\dots\otimes B_n$

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов $f_i$.

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть $e_{i 1},\dots,e_{i n}$ — базис модуля $A_i$. Построим свободный модуль $F$ над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам $(e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s})$, определив отображение $f(e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s}) \to (e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s})$ и распространив его на $A_1 \times \dots \times A_n$ по линейности. Тогда $F$ является тензорным произведением, где $(e_{1 m}, e_{2 p}, \dots, e_{n s})$ является тензорным произведением элементов $e_{1m} \otimes e_{2p} \otimes \dots\otimes e_{ns}$. Если число модулей и все их базисы конечны, то

$rank (A_1 \otimes \dots \otimes A_n) = rank A_1 \cdot \dots \cdot rank A_n$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

См. также

• Свёртка тензора
• Тензор
• Тензорное поле
• Тензорная алгебра