Тензорное произведение

Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств $A$ и $B$ есть линейное пространство, обозначаемое $A\otimes B$. Для элементов $a\in A$ и $b\in B$ их тензорное произведение $a\otimes b$ лежит в пространстве $A\otimes B$.

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Тензорное произведение линейных (векторных) пространств

Конечномерные пространства

Пусть $A$ и $B$ — конечномерные векторные пространства над полем $K$, $\{e_{i}\}_{i=1\dots n}$ — базис в $A$, $\{f_{k}\}_{k=1\dots m}$ — базис в $B$. Тензорным произведением $A\otimes B$ пространств $A$ и $B$ будем называть векторное пространство, порождённое элементами $e_{i}\otimes f_{k}$, называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение $a\otimes b$ произвольных векторов $a\in A,~b\in B$ можно определить, полагая операцию $\otimes$ билинейной:

$(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K$

$a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K$

При этом тензорное произведение произвольных векторов $a$ и $b$ выражается как линейная комбинация базисных векторов $e_{i}\otimes f_{k}$. Элементы в $A\otimes B$, представимые в виде $a\otimes b$, называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойства

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства $C$ и билинейного отображения $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ существует единственное линейное отображение $f:A\otimes B\to C$ такое, что

$\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,$

где $\circ$ обозначает композицию функций.

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в $A$ и $B$, так как все удовлетворяющие универсальному свойству пространства $A\otimes B$ оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, задание произвольного билинейного отображения $L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C$ эквивалентно заданию линейного отображения $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$: пространства $\ L^{2}(A\times B,C)$ и $L(A\otimes B,C)$ являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространств

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть $V_{1}$, $V_{2}$, и $V_{3}$ — три векторных пространства. Тензорное произведение $V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}$ вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

$\varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}$

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение $F$ из прямого произведения в векторное пространство $W$

$F:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to W$

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

$F=L\circ \varphi$

где $L$ — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если $V_{1}$, $V_{2}$ и $V_{3}$ — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

$V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.$

В общем случае тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств $V_{i}$, $i\in I$ определяется как универсальный объект для полилинейных отображений из прямого произведения $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$.

Пусть $n$ — произвольное натуральное число. Тогда $n$-й тензорной степенью пространства $V$ называется тензорное произведение $n$ копий $V$:

$V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.$

Функториальность

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть $A\colon U_{1}\to U_{2}$, $B\colon W_{1}\to W_{2}$ — линейные операторы. Тензорное произведение операторов $A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2}$ определяется по правилу

$(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}$

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.

Если матрицы операторов A и B при некотором выборе базисов имеют вид

$\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

$\mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}$

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

$\mathrm {A} \otimes \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}$

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Частные случаи

Тензорное произведение двух векторов

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} ^{\textsf {T}}\rightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}$

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow a_{i}b^{j}$

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, тензорное произведение векторов будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения двух векторов — второго) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

$P_{i}^{\ j}=a_{i}b^{j}$

$P_{ij}\ =a_{i}b_{j}$

$P^{ij}\ =a^{i}b^{j}$

Поскольку тензорное произведение двух векторов является кронекеровским произведением и образует вектор, его не следует путать с внешним произведением векторов (англ. outer product), называемым также диадным и результатом которого является матрица (разложимый тензор второго ранга, диада).

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

Свойства

• $\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

• Ассоциативность

$(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)$

• Формально говоря, тензорное произведение не коммутативно, но существует естественный изоморфизм $A\otimes B\to B\otimes A$
• Линейность

$A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)$

$\oplus$ — внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулей

Пусть $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ — модули над некоторым коммутативным кольцом $R$. Тензорным произведением модулей называется модуль $B$ над $R$, данный вместе с полилинейным отображением $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля $C$ над $R$ и любого полилинейного отображения $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ существует единственный гомоморфизм модулей $h\colon B\to C$ такой, что диаграмма

коммутативна. Тензорное произведение обозначается $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$. Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль $M$, образующими которого будут n-ки элементов модулей $(x_{1},\dots ,x_{n})$ где $x_{i}\in A_{i}$. Пусть $N$ — подмодуль $M$, порождаемый следующими элементами:

1. $(x_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})$
2. $(x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$

Тензорное произведение определяется как фактормодуль $B=M/N$, класс $(x_{1},\dots ,x_{n})+N$ обозначается $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$, и называется тензорным произведением элементов $x_{i}$, a $f$ определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ полилинейно. Докажем, что для любого модуля $C$ и любого полилинейного отображения $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ существует единственный гомоморфизм модулей $h$, такой, что $g=h\circ f$.

В самом деле, так как $M$ свободен, то существует единственное отображение $h^{*}$, делающее диаграмму

коммутативной, а в силу того, что $g$ полилинейно, то на $N$ $h^{*}(N)=0$, отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что $h\colon M/N\to C$, будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы $A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$, представимые в виде $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$, называются разложимыми.

Если $f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$ — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

$f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}$

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов $f_{i}$.

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть $e_{i1},\dots ,e_{in}$ — базис модуля $A_{i}$. Построим свободный модуль $F$ над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$, определив отображение $f(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})\to (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ и распространив его на $A_{1}\times \dots \times A_{n}$ по линейности. Тогда $F$ является тензорным произведением, где $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$ является тензорным произведением элементов $e_{1m}\otimes e_{2p}\otimes \dots \otimes e_{ns}$. Если число модулей и все их базисы конечны, то

$\mathrm {rank} (A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})=\mathrm {rank} \,A_{1}\cdot \dots \cdot \mathrm {rank} \,A_{n}$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

См. также

• Свёртка тензора
• Тензор
• Тензорное поле
• Тензорная алгебра
• Тензорное произведение графов