Тензорное произведение — операция над векторными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.
Тензорное произведение линейных пространств
и
есть линейное пространство, обозначаемое
.
Для элементов
и
их тензорное произведение
лежит в пространстве
.
Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.
Тензорное произведение линейных (векторных) пространств[править | править код]
Пусть
и
— конечномерные векторные пространства над полем
,
— базис в
,
— базис в
. Тензорным произведением
пространств
и
будем называть векторное пространство, порождённое элементами
, называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение
произвольных векторов
можно определить, полагая операцию
билинейной:


При этом тензорное произведение произвольных векторов
и
выражается как линейная комбинация базисных векторов
. Элементы в
, представимые в виде
, называются разложимыми.
Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.
Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства
и билинейного отображения
существует единственное линейное отображение
такое, что

где
обозначает композицию функций.
В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в
и
, так как все удовлетворяющие универсальному свойству пространства
оказываются канонически изоморфны.
Таким образом, задание произвольного билинейного отображения
эквивалентно заданию линейного отображения
: пространства
и
являются канонически изоморфными.
Произведение более чем двух пространств[править | править код]
Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть
,
, и
— три векторных пространства. Тензорное произведение
вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение
из прямого произведения в векторное пространство

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

где
— линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если
,
и
— три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

В общем случае тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств
,
определяется как универсальный объект для полилинейных отображений из прямого произведения
.
Пусть
— произвольное натуральное число. Тогда
-й тензорной степенью пространства
называется тензорное произведение
копий
:

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть
,
— линейные операторы. Тензорное произведение операторов
определяется по правилу

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.[1]
Если матрицы операторов A и B при некотором выборе базисов имеют вид


то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.
Тензорное произведение двух векторов[править | править код]
(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку описывет их тензорное произведение:


Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

- Формально говоря, тензорное произведение не коммутативно, но существует естественный изоморфизм

- Линейность

— внешняя сумма линейных пространств.
Пусть
— модули над некоторым коммутативным кольцом
. Тензорным произведением модулей называется модуль
над
, данный вместе с полилинейным отображением
и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля
над
и любого полилинейного отображения
существует единственный гомоморфизм модулей
такой, что диаграмма
коммутативна. Тензорное произведение обозначается
. Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.
Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль
, образующими которого будут n-ки элементов модулей
где
. Пусть
— подмодуль
, порождаемый следующими элементами:


Тензорное произведение определяется как фактормодуль
, класс
обозначается
, и называется тензорным произведением элементов
, a
определяется как соответствующее индуцированное отображение.
Из 1) и 2) следует что отображение
полилинейно. Докажем, что для любого модуля
и любого полилинейного отображения
существует единственный гомоморфизм модулей
, такой, что
.
В самом деле, так как
свободен, то существует единственное отображение
, делающее диаграмму
коммутативной, а в силу того, что
полилинейно, то на
, отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что
, будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.
Элементы
, представимые в виде
, называются разложимыми.
Если
— изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов
.
Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть
— базис модуля
. Построим свободный модуль
над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам
, определив отображение
и распространив его на
по линейности. Тогда
является тензорным произведением, где
является тензорным произведением элементов
. Если число модулей и все их базисы конечны, то
.
- ↑
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. Algebras, rings and modules (неопр.). — Springer, 2004. — С. 100. — ISBN 978-1-4020-2690-4.