Тензорное произведение

Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств $A$$A$ и $B$$B$ есть линейное пространство, обозначаемое $A\otimes B$$A\otimes B$. Для элементов $a\in A$$a\in A$ и $b\in B$$b\in B$ их тензорное произведение $a\otimes b$$a\otimes b$ лежит в пространстве $A\otimes B$$A\otimes B$.

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Тензорное произведение линейных (векторных) пространств

Конечномерные пространства

Пусть $A$$A$ и $B$$B$ — конечномерные векторные пространства над полем $K$$K$, $\{e_{i}\}_{i=1\dots n}$$\{e_{i}\}_{{i=1\dots n}}$ — базис в $A$$A$, $\{f_{k}\}_{k=1\dots m}$$\{f_{k}\}_{{k=1\dots m}}$ — базис в $B$$B$. Тензорным произведением $A\otimes B$$A\otimes B$ пространств $A$$A$ и $B$$B$ будем называть векторное пространство, порождённое элементами $e_{i}\otimes f_{k}$$e_{i}\otimes f_{k}$, называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение $a\otimes b$$a\otimes b$ произвольных векторов $a\in A,~b\in B$$a\in A,~b\in B$ можно определить, полагая операцию $\otimes$$\otimes$ билинейной:

$(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K$$(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \in K$

$a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K$$a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K$

При этом тензорное произведение произвольных векторов $a$$a$ и $b$$b$ выражается как линейная комбинация базисных векторов $e_{i}\otimes f_{k}$$e_{i}\otimes f_{k}$. Элементы в $A\otimes B$$A\otimes B$, представимые в виде $a\otimes b$$a\otimes b$, называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойства

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства $C$$C$ и билинейного отображения $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$$\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ существует единственное линейное отображение $f:A\otimes B\to C$$f:A\otimes B\to C$ такое, что

$\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,$$\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,$

где $\circ$$\circ$ обозначает композицию функций.

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в $A$$A$ и $B$$B$, так как все удовлетворяющие универсальному свойству пространства $A\otimes B$$A\otimes B$ оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, задание произвольного билинейного отображения $L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C$$L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C$ эквивалентно заданию линейного отображения $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$$L\ni \varphi :A\otimes B\to C$: пространства $\ L^{2}(A\times B,C)$$\ L^{2}(A\times B,C)$ и $L(A\otimes B,C)$$L(A\otimes B,C)$ являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространств

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть V₁, V₂, и V₃ — три векторных пространства. Тензорное произведение V₁ ⊗ V₂ ⊗ V₃, вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

$\varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}$$\varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}$

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение F из прямого произведения в векторное пространство W

$F:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to W$$F:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to W$

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

$F=L\circ \varphi$$F=L\circ \varphi$

где L — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если V₁, V₂, и V₃ — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

$V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.$$V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.$

В общем случае, тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств V_i, i ∈ I, определяется как универсальный объект для полилинейных отображений из прямого произведения $\scriptstyle \prod _{i\in I}V_{i}.$$\scriptstyle \prod _{{i\in I}}V_{i}.$

Пусть n — произвольное натуральное число. N-й тензорной степенью пространства V называется тензорное произведение n копий V:

$V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.$$V^{{\otimes n}}\;{\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{n}}.$

Функториальность

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть $A\colon U_{1}\to U_{2}$$A\colon U_{1}\to U_{2}$, $B\colon W_{1}\to W_{2}$$B\colon W_{1}\to W_{2}$ — линейные операторы. Тензорное произведение операторов $A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2}$$A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2}$ определяется по правилу

$(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}$$(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}$

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.

Если матрицы операторов при некотором выборе базисов имеют вид

$\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$${\mathrm {A}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}&\cdots &a_{{1n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}&\cdots &a_{{mn}}\end{bmatrix}}$

$\mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}$${\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}b_{{11}}&\cdots &b_{{1q}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{{p1}}&\cdots &b_{{pq}}\end{bmatrix}}$

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

$\mathrm {A} \otimes \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}=$${\mathrm {A}}\otimes {\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}$$={\begin{bmatrix}a_{{11}}b_{{11}}&a_{{11}}b_{{12}}&\cdots &a_{{11}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{11}}&a_{{1n}}b_{{12}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{1q}}\\a_{{11}}b_{{21}}&a_{{11}}b_{{22}}&\cdots &a_{{11}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{21}}&a_{{1n}}b_{{22}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{11}}b_{{p1}}&a_{{11}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{11}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{p1}}&a_{{1n}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{pq}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{{m1}}b_{{11}}&a_{{m1}}b_{{12}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{11}}&a_{{mn}}b_{{12}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{1q}}\\a_{{m1}}b_{{21}}&a_{{m1}}b_{{22}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{21}}&a_{{mn}}b_{{22}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}b_{{p1}}&a_{{m1}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{p1}}&a_{{mn}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{pq}}\end{bmatrix}}$

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Частные случаи

Тензорное произведение двух векторов

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}$${\mathbf {a}}\otimes {\mathbf {b}}\rightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}$

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \rightarrow a_{i}b^{j}$${\mathbf {a}}\otimes {\mathbf {b}}\rightarrow a_{i}b^{j}$

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, тензорное произведение векторов будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения двух векторов — второго) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

$P_{i}^{\ j}=a_{i}b^{j}$$P_{i}^{{\ j}}=a_{i}b^{j}$

$P_{ij}\ =a_{i}b_{j}$$P_{{ij}}\ =a_{i}b_{j}$

$P^{ij}\ =a^{i}b^{j}$$P^{{ij}}\ =a^{i}b^{j}$

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (разложимый тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

Свойства

• $\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

• Ассоциативность

$(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)$$(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)$

• Коммутативность

$A\otimes B\simeq B\otimes A$$A\otimes B\simeq B\otimes A$

• Линейность

$A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)$$A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)$

$\oplus$$\oplus$ — внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулей

Пусть $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$$A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ — модули над некоторым коммутативным кольцом $R$$R$. Тензорным произведением модулей называется модуль $B$$B$ над $R$$R$, данный вместе с полилинейным отображением $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$$f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля $C$$C$ над $R$$R$ и любого полилинейного отображения $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$$g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ существует единственный гомоморфизм модулей $h\colon B\to C$$h\colon B\to C$ такой, что диаграмма

коммутативна. Тензорное произведение обозначается $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$$A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$. Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль $M$$M$, образующими которого будут n-ки элементов модулей $(x_{1},\dots ,x_{n})$$(x_{1},\dots ,x_{n})$ где $x_{i}\in A_{i}$$x_{i}\in A_{i}$. Пусть $N$$N$ — подмодуль $M$$M$, порождаемый следующими элементами:

1. $(x_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})$$(x_{1},\dots ,x_{i}+y_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})-(x_{1},\dots ,y_{i},\dots ,x_{n})$
2. $(x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$$(x_{1},\dots ,\lambda x_{i},\dots ,x_{n})-\lambda (x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})$

Тензорное произведение определяется как фактор-модуль $B=M/N$$B=M/N$, класс $(x_{1},\dots ,x_{n})+N$$(x_{1},\dots ,x_{n})+N$ обозначается $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$$x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$, и называется тензорным произведением элементов $x_{i}$$x_{i}$, a $f$$f$ определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение $f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$$f\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to B$ полилинейно. Докажем, что для для любого модуля $C$$C$ и любого полилинейного отображения $g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$$g\colon A_{1}\times \dots \times A_{n}\to C$ существует единственный гомоморфизм модулей $h$$h$, такой, что $g=h\circ f$$g=h\circ f$.

В самом деле, так как $M$$M$ свободен, то существует единственное отображение $h^{*}$$h^{*}$, делающее диаграмму

коммутативной, а в силу того, что $g$$g$ полилинейно, то на $N$$N$ $h^{*}(N)=0$$h^{*}(N)=0$, отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что $h\colon M/N\to C$$h\colon M/N\to C$, будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы $A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$$A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$, представимые в виде $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$$x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$, называются разложимыми.

Если $f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$$f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$ — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

$f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}$$f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}$

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов $f_{i}$$f_{i}$.

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть $e_{i1},\dots ,e_{in}$$e_{{i1}},\dots ,e_{{in}}$ — базис модуля $A_{i}$$A_{i}$. Построим свободный модуль $F$$F$ над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$$(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})$, определив отображение $f(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})\to (e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$$f(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})\to (e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})$ и распространив его на $A_{1}\times \dots \times A_{n}$$A_{1}\times \dots \times A_{n}$ по линейности. Тогда $F$$F$ является тензорным произведением, где $(e_{1m},e_{2p},\dots ,e_{ns})$$(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})$ является тензорным произведением элементов $e_{1m}\otimes e_{2p}\otimes \dots \otimes e_{ns}$$e_{{1m}}\otimes e_{{2p}}\otimes \dots \otimes e_{{ns}}$. Если число модулей и все их базисы конечны, то

$\mathrm {rank} (A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})=\mathrm {rank} \,A_{1}\cdot \dots \cdot \mathrm {rank} \,A_{n}$${\mathrm {rank}}(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})={\mathrm {rank}}\,A_{1}\cdot \dots \cdot {\mathrm {rank}}\,A_{n}$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

См. также

• Свёртка тензора
• Тензор
• Тензорное поле
• Тензорная алгебра