Тензорное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Тензорное произведение — операция над линейными пространствами, а также над элементами (векторами, матрицами, операторами, тензорами и т. д.) перемножаемых пространств.

Тензорное произведение линейных пространств и есть линейное пространство, обозначаемое . Для элементов и их тензорное произведение лежит в пространстве .

Обозначение тензорного произведения произошло по аналогии с обозначением для декартова произведения множеств.

Тензорное произведение линейных (векторных) пространств[править | править вики-текст]

Конечномерные пространства[править | править вики-текст]

Пусть и  — конечномерные векторные пространства над полем ,  — базис в ,  — базис в . Тензорным произведением пространств и будем называть векторное пространство, порождённое элементами , называемыми тензорными произведениями базисных векторов. Тензорное произведение произвольных векторов можно определить, полагая операцию билинейной:

При этом тензорное произведение произвольных векторов и выражается как линейная комбинация базисных векторов . Элементы в , представимые в виде , называются разложимыми.

Хотя тензорное произведение пространств определяется через выбор базисов, его геометрические свойства не зависят от этого выбора.

Определение с помощью универсального свойства[править | править вики-текст]

Тензорное произведение — это в некотором смысле наиболее общее пространство, в которое можно билинейно отобразить исходные пространства. А именно, для любого другого пространства и билинейного отображения существует единственное линейное отображение такое, что

где обозначает композицию функций.

В частности, отсюда следует, что тензорное произведение не зависит от выбора базисов в и , так как все удовлетворяющие универсальному свойству пространства оказываются канонически изоморфны.

Таким образом, задание произвольного билинейного отображения эквивалентно заданию линейного отображения : пространства и являются канонически изоморфными.

Произведение более чем двух пространств[править | править вики-текст]

Приведенное универсальное свойство может быть продолжено на произведения более чем двух пространств. Например, пусть V1, V2, и V3 — три векторных пространства. Тензорное произведение V1 ⊗ V2 ⊗ V3, вместе с трилинейным отображением из прямого произведения

имеет такой вид, что любое трилинейное отображение F из прямого произведения в векторное пространство W

единственным образом пропускается через тензорное произведение:

где L — линейное отображение. Тензорное произведение характеризуется этим свойством однозначно, с точностью до изоморфизма. Результат приведенной конструкции совпадает с повторением тензорного произведения двух пространств. Например, если V1, V2, и V3 — три векторных пространства, то существует (естественный) изоморфизм

В общем случае, тензорное произведение произвольного индексированного семейства множеств Vi, i ∈ I, определяется как универсальный объект для полилинейных отображений из прямого произведения

Пусть n — произвольное натуральное число. N-й тензорной степенью пространства V называется тензорное произведение n копий V:

Функториальность[править | править вики-текст]

Тензорное произведение действует также на линейных отображениях. Пусть ,  — линейные операторы. Тензорное произведение операторов определяется по правилу

После этого определения тензорное произведение становится бифунктором из категории векторных пространств в себя, ковариантным по обоим аргументам.[1]

Если матрицы операторов при некотором выборе базисов имеют вид

то матрица их тензорного произведения запишется в базисе, образованном тензорным произведением базисов, в виде блочной матрицы

Соответствующая операция над матрицами называется кронекеровским произведением, по имени Леопольда Кронекера.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Тензорное произведение двух векторов[править | править вики-текст]

(Матричное) умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт их тензорное произведение:

или, если пользоваться верхними и нижними индексами (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование):

Если же не привязываться к матричной форме записи и матричным операциям, то, как и для тензоров более высокого ранга, тензорное произведение векторов будет представлять тензор более высокого ранга (для произведения двух векторов — второго) с компонентами, равными произведениям компонент множителей с соответствующими индексами:

Произведение двух векторов называется также диадным, а результат (разложимый тензор второго ранга) — диадой.

Тензорным произведением пространства векторов-столбцов на пространство векторов-строк является пространство матриц.

Свойства[править | править вики-текст]

Следующие алгебраические свойства основаны на каноническом изоморфизме:

  • Ассоциативность
  • Коммутативность
  • Линейность
 — внешняя сумма линейных пространств.

Тензорное произведение модулей[править | править вики-текст]

Пусть  — модули над некоторым коммутативным кольцом . Тензорным произведением модулей называется модуль над , данный вместе с полилинейным отображением и обладающий свойством универсальности, то есть такой, что для всякого модуля над и любого полилинейного отображения существует единственный гомоморфизм модулей такой, что диаграмма

Tensor product1.gif

коммутативна. Тензорное произведение обозначается . Из универсальности тензорного произведения следует, что оно определено однозначно с точностью до изоморфизма.

Для доказательства существования тензорного произведения любых модулей над коммутативным кольцом построим свободный модуль , образующими которого будут n-ки элементов модулей где . Пусть  — подмодуль , порождаемый следующими элементами:

Тензорное произведение определяется как фактор-модуль , класс обозначается , и называется тензорным произведением элементов , a определяется как соответствующее индуцированное отображение.

Из 1) и 2) следует что отображение полилинейно. Докажем, что для для любого модуля и любого полилинейного отображения существует единственный гомоморфизм модулей , такой, что .

В самом деле, так как свободен, то существует единственное отображение , делающее диаграмму

Tensor product2.gif

коммутативной, а в силу того, что полилинейно, то на , отсюда, переходя к индуцированному отображению, получаем, что , будет тем самым единственным гомоморфизмом, существование которого и требовалось доказать.

Элементы , представимые в виде , называются разложимыми.

Если  — изоморфизмы модулей, то индуцированный гомоморфизм, соответствующий билинейному отображению

существующий по свойству универсальности, называется тензорным произведением гомоморфизмов .

Особенно простой случай получается в случае свободных модулей. Пусть  — базис модуля . Построим свободный модуль над нашим кольцом, имеющий в качестве базиса элементы, соответствующие n-кам , определив отображение и распространив его на по линейности. Тогда является тензорным произведением, где является тензорным произведением элементов . Если число модулей и все их базисы конечны, то

.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Algebras, rings and modules. — Springer, 2004. — P. 100. — ISBN 978-1-4020-2690-4.

См. также[править | править вики-текст]