Система непересекающихся множеств

Система непересекающихся множеств (англ. disjoint-set, или union–find data structure) — структура данных, которая позволяет администрировать множество элементов, разбитое на непересекающиеся подмножества. При этом каждому подмножеству назначается его представитель — элемент этого подмножества. Абстрактная структура данных определяется множеством трёх операций: $\{\mathrm {Union} ,\mathrm {Find} ,\mathrm {MakeSet} \}$.

Применяется для хранения компонент связности в графах, в частности, алгоритму Краскала необходима подобная структура данных для эффективной реализации.

Определение

Пусть $S$ конечное множество, разбитое на непересекающиеся подмножества (классы) $X_{i}$:

$S=X_{0}\cup X_{1}\cup X_{2}\cup \ldots \cup X_{k}:X_{i}\cap X_{j}=\varnothing \quad \forall i,j\in \lbrace 0,1,\ldots ,k\rbrace ,i\neq j$.

Каждому подмножеству $X_{i}$ назначается представитель $r_{i}\in X_{i}$. Соответствующая система непересекающихся множеств поддерживает следующие операции:

• $\mathrm {MakeSet} (x)$: создаёт для элемента $x$ новое подмножество. Назначает этот же элемент представителем созданного подмножества.
• $\mathrm {Union} (r,s)$: объединяет оба подмножества, принадлежащие представителям $r$ и $s$, и назначает $r$ представителем нового подмножества.
• $\mathrm {Find} (x)$: определяет для $x\in S$ подмножество, к которому принадлежит элемент, и возвращает его представителя.

Алгоритмическая реализация

Тривиальная реализация сохраняет принадлежность элементов из $S$ и представителей $r_{i}$ в индексном массиве. На практике же чаще используются множества деревьев. Это позволяет существенно сократить время, необходимое для операции Find. При этом представитель записывается в корень дерева, а остальные элементы класса в узлы под ним.

• $\mathrm {Union} (r,s)$: вешает корень более низкого дерева под корень более высокого дерева. Если при этом $r$ становится потомком $s$, оба узла меняются местами.
• $\mathrm {Find} (x)$: проходит путь от $x$ до корня дерева и возвращает его (корень в данном случае является представителем).

Эвристики

Для ускорения операций Union и Find могут быть использованы эвристики Union-By-Size, Union-By-Height, Random-Union и сжатие путей.

В эвристике Union-By-Size во время операции $\mathrm {Union} (r,s)$ корень меньшего дерева вешается под корень большего дерева. Благодаря этому подходу сохраняется балансировка дерева. Глубина каждого поддерева $T$ не может превысить величину $\log \left|T\right|$. При использовании этой эвристики время операции Find в худшем случае увеличивается с $O(\log n)$ до $O(n)$. Для эффективной реализации предлагается сохранять в корне количество узлов в дереве.

Эвристика Union-By-Height аналогична Union-By-Size, но использует высоту дерева вместо размера.

В эвристике Random-Union используется тот факт, что можно не тратить дополнительные $O(n)$ памяти на сохранение количества узлов в дереве: достаточно выбирать корень случайным образом — такое решение даёт на случайных запросах скорость, вполне сравнимую с другими реализациями. Тем не менее, если имеется много запросов вида «объединить большое множество с маленьким», данная эвристика улучшает матожидание (то есть среднее время работы) всего в два раза, поэтому использовать её без эвристики сжатия путей не рекомендуется.

Эвристика сжатия путей используется, чтобы ускорить операцию $\mathrm {Find} (x)$. При каждом новом поиске все элементы, находящиеся на пути от корня до искомого элемента, вешаются под корень дерева. В этом случае операция Find будет работать в среднем $\alpha (n)$, где $\alpha$ — функция, обратная функции Аккермана. Это позволяет значительно ускорить работу, так как $\alpha$ для всех применяемых на практике значений принимает значение, меньшее 5.

Пример реализации

Реализация на C++:

const int MAXN = 1000;

int p[MAXN], rank[MAXN];

void MakeSet(int x) 
{
    p[x] = x;
    rank[x] = 0;
}

int Find(int x) 
{
    return ( x == p[x] ? x : p[x] = Find(p[x]) );
}

void Union(int x, int y) 
{
    if ( (x = Find(x)) == (y = Find(y)) )
        return;
	
    if ( rank[x] <  rank[y] )
        p[x] = y;
    else {
        p[y] = x;
        if ( rank[x] == rank[y] )
            ++rank[x];
    }
}

Реализация на Free Pascal:

const MAX_N = 1000;

var Parent , Rank : array [ 1 .. MAX_N ] of LongInt;

procedure swap ( var x , y : LongInt );
  var tmp : LongInt;
begin
  tmp := x; 
  x := y; 
  y := tmp;
end;

procedure MakeSet ( x : LongInt ) ;
begin
  Parent[x] := x;
  Rank[x] := 0;
end;

function Find ( x : LongInt ) : LongInt;
begin
  if ( Parent[x] <> x ) then
    Parent[x] := Find ( Parent[x] );
  Exit ( Parent[x] );
end;

procedure Union ( x , y : LongInt );
begin
  x := Find ( x );
  y := Find ( y );
  if ( x = y ) then exit();
  if ( Rank[x] < Rank[y] ) then swap ( x , y );
  
  Parent[y] := x;
  if ( Rank[x] = Rank[y] ) then
    inc ( Rank[x] );
end;

См. также

• Лес непересекающихся множеств

Литература

• Galler, Bernard A., and Michael J. Fisher. «An improved equivalence algorithm.» // Communications of the ACM, 7.5 (1964): 301—303. (англ.)
• Tarjan, Robert E., and Jan Van Leeuwen. «Worst-case analysis of set union algorithms.» // Journal of the ACM 31.2 (1984): 245—281. (англ.)
• Томас Кормен и др. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1.

Ссылки

• Union-Find / Kevin Wayne, Pearson-Addison Wesley (англ.)
• Chapter 22: Data Structures For Disjoint Sets / Introduction to Algorithms, Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, and Ronald L. Rivest (англ.)
• Визуализатор работы некоторых структур данных для непересекающихся множеств / ИТМО
• Реализация непересекающихся множеств в коллекции библиотек C++ Boost, 2006