Функция Аккермана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функция Аккермана — простой пример всюду определённой вычислимой функции, которая не является примитивно рекурсивной. Она принимает два неотрицательных целых числа в качестве параметров и возвращает натуральное число, обозначается . Эта функция растёт очень быстро, например, число настолько велико, что количество цифр в порядке этого числа многократно превосходит количество атомов в наблюдаемой части Вселенной.

История[править | править вики-текст]

В конце 20-х годов XX века математики-ученики Давида Гильберта — Габриэль Судан и Вильгельм Аккерман изучали основы вычислений. Судан и Аккерман известны[1] за открытие всюду определённой вычислимой функции (иногда называемой просто «рекурсивной»), не являющейся примитивно рекурсивной. Судан открыл менее известную функцию Судана, после чего, независимо от него, в 1928 Аккерман опубликовал свою функцию . Функция трёх аргументов Аккермана определялась так, что для p = 0, 1, 2, она проводила операцию сложения, умножения или возведения в степень:

а для p > 2 она доопределяется с помощью стрелочной нотации Кнута, опубликованной в 1976 году:

.

(Помимо её исторической роли как первой всюду определённой не примитивно рекурсивной вычислимой функции, оригинальная функция Аккермана расширяла основные арифметические операции за возведение в степень, хотя и не так хорошо, как специально предназначенные для этого функции вроде последовательности гипероператоров Гудстейна.)

В статье «On the infinite» Гильберт высказал гипотезу о том, что функция Аккермана не является примитивно рекурсивной, а Аккерман (личный секретарь и бывший студент Гильберта) доказал эту гипотезу в статье «On hilbert’s construction of the real numbers». Роза Петер и Рафаэль Робинсон позже представили двухаргументную версию функции Аккермана, которую теперь многие авторы предпочитают оригинальной[2].

Определение[править | править вики-текст]

Функция Аккермана определяется рекурсивно для неотрицательных целых чисел и следующим образом:

Может показаться неочевидным, что рекурсия всегда заканчивается. Это следует из того, что при рекурсивном вызове или уменьшается значение , или значение сохраняется, но уменьшается значение . Это означает, что каждый раз пара уменьшается с точки зрения лексикографического порядка, значит, значение в итоге достигнет нуля: для одного значения существует конечное число возможных значений (так как первый вызов с данным был произведён с каким-то определённым значением , а в дальнейшем, если значение сохраняется, значение может только уменьшаться), а количество возможных значений , в свою очередь, тоже конечно. Однако, при уменьшении значение, на которое увеличивается , неограниченно и обычно очень велико.

Таблица значений[править | править вики-текст]

Подробнее о hyper см. гипероператор.
(всего блоков )

Обратная функция[править | править вики-текст]

Так как функция растёт очень быстро, обратная функция , обозначаемая , растёт очень медленно. Эта функция встречается при исследовании сложности некоторых алгоритмов, например, системы непересекающихся множеств или алгоритма Чазелла для построения минимального остовного дерева[3]. При анализе асимптотики можно считать, что для всех практически встречающихся чисел значение этой функции меньше пяти, так как A(4, 4) одного порядка с .

Использование в тестах производительности[править | править вики-текст]

Функция Аккермана в силу своего определения имеет очень глубокий уровень рекурсии, что можно использовать для проверки способности компилятора оптимизировать рекурсию. Первым функцию Аккермана для этого использовал Ингви Сандблад[4].

Брайан Вичман (соавтор теста производительности Whetstone) учёл эту статью при написании серии статей о тестировании оптимизации вызовов[5][6][7].

Например, компилятор, который анализируя вычисление A(3, 30) способен сохранять промежуточные значения, например, A(3, n) и A(2, n), может ускорить вычисление A(3, 30) в сотни и тысячи раз. Также вычисление A(2, n) напрямую вместо рекурсивного раскрытия в A(1, A(1, A(1,…A(1, 0)…))) прилично ускорит вычисление. Вычисление A(1, n) занимает линейное время n. Вычисление A(2, n) требует квадратичное время, так как оно раскрывается в O(n) вложенных вызовов A(1, i) для различных i. Время вычисления A(3, n) пропорционально 4n+1.

Значение A(4, n) невозможно посчитать с помощью простого рекурсивного применения за разумное время. Вместо этого для оптимизации рекурсивных вызовов используются сокращённые формулы, например, A(3, n) = 8×2n−3.[источник не указан 1290 дней]

Один из практичных способов вычисления значений функции Аккермана — мемоизация промежуточных результатов. Компилятор может применить эту технику к функции автоматически, используя memo functions[8][9] Дональда Мичи[en].

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]