Дистанционно-транзитивный граф

Граф Биггса — Смита, наибольший 3-регулярный дистанционно-транзитивный граф

Дистанционно-транзитивный граф (англ. distance-transitive graph) — граф, в котором любая упорядоченная пара вершин переводится в любую другую упорядоченную пару вершин с тем же расстоянием между вершинами одним из автоморфизмов графа.

Близким понятием является дистанционно-регулярный граф, однако природа их разная. Если дистанционно-транзитивный граф определяется исходя из симметрии графа через условие автоморфизма, то дистанционно-регулярный граф определяется из условия его комбинаторной регулярности. Каждый дистанционно-транзитивный граф является дистанционно-регулярным, однако обратное не справедливо. Это было доказано в 1969 году, еще до введения в обиход термина «дистанционно-транзитивный граф».

Полностью классифицированы дистанционно-регулярные графы степеней меньших 13.

Определения дистанционно-транзитивного графа

Полный граф $K_{7}$

Граф Петерсона

Граф Хивуда

Граф Паппа

Граф Коксетера

Граф Татта-Коксетера

Существует несколько различных по форме, но одинаковых по своей сущности определений дистанционно-транзитивного графа. Предполагается, что граф $\Gamma =(V,E)$ — неориентированный, связанный и ограниченный. В определении используются понятия расстояние между вершинами графа и автоморфизм графа:

• Расстояние $d(u,v)$ между двумя вершинами $u,v\in V(\Gamma )$ графа $\Gamma =(V,E)$ есть количество рёбер по наикратчайшему пути, соединяющему $u$ и $v$
• Автоморфизм графа $g:V\rightarrow V$ — взаимно однозначное отображение множества вершин графа на себя, сохраняющее смежность вершин.
• Группа автоморфизмов графа $\mathrm {Aut} (\Gamma )$ — множество автоморфизмов графа.

Определение по Годзилу-Ройлу

Неориентированный, связный, ограниченный граф $\Gamma =(V,E)$ называется дистанционно-транзитивным, если для двух любых упорядоченных пар его вершин $(u,v)$ и $(x,y)$, таких что $d(u,v)=d(x,y)$ существует автоморфизм $g$ графа $\Gamma$, такой что $g:(u,v)\rightarrow (x,y)$

Определение по Биггзу

Пусть неориентрированный, связный, ограниченный граф $\Gamma =(V,E)$ обладает группой автоморфизмов $\mathrm {Aut} (\Gamma )$. Граф $\Gamma$ называется дистанционно-транзитивным, если для всех вершин $u,v,x,y$, таких что $d(u,v)=d(x,y)$, существует автоморфизм $g\in G$, который отображает $u\rightarrow x$ и $v\rightarrow y$

Определение по Иванову-Иванову-Фараджеву

Неориентированный связный конечный граф $\Gamma =(V,E)$ без петель и кратных ребер называется дистанционно-транзитивным, если его груп­па автоморфизмов $\mathrm {Aut} (\Gamma )$ действует транзитивно на упорядоченных па­рах равноудаленных вершин

Определение по Коуэну

Пусть $\Gamma =(V,E)$ — связный граф диаметра $D$ и $\mathrm {Aut} (\Gamma )$ его группа автоморфизмов. $\mathrm {Aut} (\Gamma )$ дистанционно-транзитивна на $\Gamma$ если она транзитивна на каждом множестве $\Gamma _{i}=\left\{(x,y)\in \Gamma \times \Gamma :d(x,y)=i\right\}$, где $i=0,\,1,\,\ldots ,\,D$. Граф $\Gamma$ является дистанционно-транзитивным если его группа автоморфизмов $\mathrm {Aut} (\Gamma )$ является дистанционно-транзитивной на нем.

Определение по Иванову

Пусть неориентированный, связанный, ограниченный граф $\Gamma =(V,E)$ обладает группой автоморфизмов $\mathrm {Aut} (\Gamma )$. Пусть $G$ есть подгруппа $\mathrm {Aut} (\Gamma )$. Граф $\Gamma$ называется $G$-дистанционно-транзитивным (англ. $G$-distance-transitive), если для каждой четвёрки вершин $u,v,x,y$, таких что $d(u,v)=d(x,y)$, существует автоморфизм $g\in G$, который отображает $u\rightarrow x$ и $v\rightarrow y$. Дистанционно-транзитивным называется граф, который является $G$-дистанционно-транзитивным для некоторой подгруппы $G$ группы автоморфизмов графа.

Другими словами, $\Gamma$ есть $G$-дистанционно-транзитивный граф, если подгруппа $G$ действует транзитивно на множестве $\left\{(x,y)\mid x,e\in V(\Gamma ),\,d(x,y)=i\right\}$ при каждом $i$.

Массив пересечений

Пусть $\Gamma =(V,E)$ есть неориентированный, связанный, ограниченный граф, а две его вершины $u,v\in V(\Gamma )$ находятся на расстоянии $j=d(u,v)$ друг от друга. Все вершины $w$, инцидентные к вершине $u$, можно разбить на три множества $A$, $B$ и $C$ в зависимости от их расстояния $d(v,w)$ до вершины $v$ :

$\left\{w\in A\colon d(v,w)=j\right\}$,   $\left\{w\in B\colon d(v,w)=j+1\right\}$,   $\left\{w\in C\colon d(v,w)=j-1\right\}$.

Если граф $\Gamma$ дистанционно-транзитивный, то мощности (кардинальные числа) множеств $a_{j}=|A|,\,b_{j}=|B|,\,c_{j}=|C|$ не зависят от вершин $u,v$, а зависят только от расстояния $j=d(u,v)$ и называются числами пересечений.

Набор чисел пересечений

$\iota (\Gamma )={\begin{Bmatrix}\ast &c_{1}&c_{2}&\dots &c_{d-1}&c_{d}\\a_{0}&a_{1}&a_{2}&\dots &a_{d-1}&a_{d}\\b_{0}&b_{1}&b_{2}&\dots &b_{d-1}&\ast \\\end{Bmatrix}}$

называется массивом пересечений дистанционно-транзитивного графа.

Свойства

• Каждый дистанционно-транзитивный граф является дистанционно-регулярным, однако обратное не справедливо.
• Дистанционно-транзитивный граф является вершинно-транзитивным и симметричным.
• Массив пересечений дистанционно-регулярного графа степени $k$. Так как дистанционно-транзитивный граф является регулярным, то числа пересечений $b_{0}=k$ и $c_{1}=1$. Более того, $a_{i}+b_{i}+c_{i}=k$. Поэтому массив пересечений дистанционно-регулярного графа можно записать как:

$\iota (\Gamma )={\begin{Bmatrix}k,\,b_{1},\,\dots ,\,b_{d-1}\,;\,1,\,c_{2},\,\dots ,\,c_{d}\end{Bmatrix}}$

Примеры

Простейшие примеры дистанционно-транзитивных графов:

• полные графы $K_{n}$
• полные двудольные графы (биклики) с равными долями $K_{n,n}$
• графы гиперкуба $Q_{n}$

Более сложные примеры дистанционно-транзитивных графов:

• граф Джонсона
• граф Грассмана
• граф Хемминга
• граф Ливингстона

Дистанционно-регулярный и дистанционно-транзитивный графы

На первый взгляд дистанционно-транзитивный граф и дистанционно-регулярный граф являются очень близкими понятиями. Действительно, каждый дистанционно-транзитивный граф является дистанционно-регулярным. Однако их природа разная. Если дистанционно-транзитивный граф определяется исходя из симметрии графа через условие автоморфизма, то дистанционно-регулярный граф определяется из условия его комбинаторной регулярности.

Следствием автоморфизма дистанционно-транзитивного графа является его регулярность. Соответственно, для регулярного графа можно определить числа пересечений. С другой стороны для дистанционно-регулярного графа существует комбинаторная регулярность, и для него также определены числа пересечений (см. § Массив пересечений), однако автоморфизм из этого не следует.

Из дистанционно-транзитивности графа следует его дистанционно-регулярность, но обратное неверно. Это было доказано в 1969 г., еще до введения в обиход термина «дистанционно-транзитивный граф», группой советских математиков (Г. М. Адельсон-Вельский, Б. Ю. Вейсфелер, А. А. Леман, И. А. Фараджев). Наименьший дистанционно-регулярный граф, не являющийся дистанционно-транзитивным, — это граф Шрикханде. Единственный тривалентный граф этого типа — это 12-клетка Татта, граф с 126 вершинами.

Классификация дистанционно-транзитивных графов

Первый общий результат в классификации дистанционно-транзитивных графов был получен в Биггзом и Смитом в 1971 году, где были классифицированы графы степени три. В течение последующих десяти-пятнадцати лет центральной проблемой в изучении дистанционно-транзитивных графов была классификация дистанционно-транзитивных графов малых степеней. Дистанционно-транзитивные графы степени четыре были полностью классифицированы Смитом.

В 1983 году Камерон, Прегер, Саксл и Зайц и независимо в 1985 году Вайс доказали, что для любой степени большей двух существует ограниченное число дистанционно-транзитивных графов.

Классификация кубических дистанционно-транзитивных графов

В 1971 году Н. Биггз и Д. Смит доказали теорему, что среди кубических (тривалентных) графов существует ровно 12 дистанционно-транзитивных графов:

Название графа	Число вершин	Диаметр	Обхват	Массив пересечений
Полный граф K4	4	1	3	{3;1}
Полный двудольный граф K3,3	6	2	4	{3,2;1,3}
Граф гиперкуба $Q_{3}$	8	3	4	{3,2,1;1,2,3}
Граф Петерсена	10	2	5	{3,2;1,1}
Граф Хивуда	14	3	6	{3,2,2;1,1,3}
Граф Паппа	18	4	6	{3,2,2,1;1,1,2,3}
Граф додекаэдра	20	5	5	{3,2,1,1,1;1,1,1,2,3}
Граф Дезарга	20	5	6	{3,2,2,1,1;1,1,2,2,3}
Граф Коксетера	28	4	7	{3,2,2,1;1,1,1,2}
Граф Татта — Коксетера	30	4	8	{3,2,2,2;1,1,1,3}
Граф Фостера	90	8	10	{3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3}
Граф Биггса — Смита	102	7	9	{3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3}

Дистанционно-транзитивные графы степени больше трёх

Все дистанционно-транзитивные графы степени $k<13$ известны. Все дистанционно-транзитивных графы степени (валентности) четыре ($k=4$) были получены Д. Смитом в 1973-74 годах, а пятой, шестой и седьмой степеней в 1984 году А. А. Ивановым, А. В. Ивановым и И. А. Фараджевым.

В 1986 году А. А. Ивановым и А. В. Ивановым были получены все дистанционно-транзитивные графы степеней от $k=8$ до $k=13$ .

Походы к классификации

Списки дистанционно-транзитивных графов малых степеней были получены в рамках подхода, основанном на рассмотрении стабилизатора отдельной вершины и теоремах, ограничивающих диаметр графа. А. А. Иванов назвал этот подход «локальным». «Глобальный» же подход основывается на рассмотрении действия группы автоморфизмов на множестве вершин. Этот подход позволяет классифицировать дистанционно-транзитивные графы, действие группы на которых примитивно. Из них затем конструируют все остальные.

Литература

Книги

• Biggs N. Distance-Transitive Graphs // Finite Groups of Automorphisms (англ.). — London & New York: Cambridge University Press, 1971. — Vol. 6. — P. 86—96. — (London Mathematical Society Lecture Note Series).

• Biggs N. L. Distance-Transitive Graphs // Algebraic Graph Theory (англ.). — 2nd edition. — Cambridge University Press, 1993. — P. 155–163. — 205 p.

• Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-Transitive Graphs // Distance-Regular Graphs (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1989. — P. 214—234.

• Cohen A. M. Distance-transitive graphs // Topics in Algebraic Graph Theory (англ.) / edited by L. W. Beineke, R. J. Wilson. — Cambridge University Press, 2004. — Vol. 102. — P. 222—249. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications).

• Godsil C., Royle G. Distance-Transitive Graphs // Algebraic Graph Theory (англ.). — New York: Springer-Verlag, 2001. — Vol. 207. — P. 66—69. — (Graduate Texts in Mathematics). — doi:10.1007/978-1-4613-0163-9.
• Ivanov A. A., Ivanov A. V. Distance-transitive graphs of valency k, 8 < k < 13 // Algebraic, Extremal and Metric Combinatorics 1986 (англ.) / Deza, M., Frankl, P., & Rosenberg, I. (Eds.). — Cambridge: Cambridge University Press, 1988. — P. 112—145. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — doi:10.1017/CBO9780511758881.

• Ivanov A. A. Distance-Transitive Graphs and Their Classification (англ.) // Faradžev I. A., Ivanov A. A., Klin M. H., Woldar A. J. Investigations in Algebraic Theory of Combinatorial Objects. Mathematics and Its Applications (Soviet Series) / (eds.). — Dordrecht: Springer, 1994. — Vol. 84. — P. 283—378. — doi:10.1007/978-94-017-1972-8.
• Lauri J., Scapelatto R. Topics in Graph Automorphisms and Reconstruction (англ.). — 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press, 2016. — 188 p. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — doi:10.1017/CBO9781316669846.

Статьи

• Адельсон-Вельский Г. М., Вейсфелер Б. Ю., Леман А. А., Фараджев И. А. Об одном примере графа, не имеющего транзитивной группы автоморфизмов // Доклады Академии наук. — 1969. — Т. 185, № 5. — С. 975—976.
• Иванов А. А., Иванов А. В., Фараджев И. А. Дистанционно-транзитивные графы степени 5, 6 и 7 // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 24, № 11. — С. 1704–1718.
• Biggs N. L., Smith D. H. On trivalent graphs (англ.) // Bulletin of the London Mathematical Society. — 1971. — Vol. 3, iss. 2. — P. 155—158. — doi:10.1112/blms/3.2.155.
• Smith D. H. On tetravalent graphs (англ.) // J. Lodon Math. Soc. — 1973. — Vol. 6. — P. 659—662.
• Smith D. H. Distance-transitive graphs of valency four (англ.) // J. Lodon Math. Soc. — 1974. — Vol. 8. — P. 377—384.
• Van Bon J. Finite primitive distance-transitive graphs (англ.) // European Journal of Combinatorics. — 2007. — Vol. 28, iss. 2. — P. 517—532. — doi:10.1016/j.ejc.2005.04.014.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Distance-Transitive Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.