Лемма Жордана

Не следует путать с теоремой Жордана.

Лемма Жордана была предложена Жорданом в 1894 году. Применяется в комплексном анализе совместно с основной теоремой о вычетах при вычислении некоторых интегралов, например, контурных. Имеет три формы.

Формулировка

Пусть $f(z)$ непрерывна в замкнутой области $G=\left\{z\mid \mathrm {Im} z\geq 0,\left|z\right|\geq R_{0}>0\right\}$. Обозначим через $C_{R}$ полуокружность $|z|=R,\,\mathrm {Im} \,z\geq 0$. Пусть также $\lim _{R\to \infty }\max _{z\in C_{R}}\left|f(z)\right|=0.$
Тогда при $a>0$ имеем

$\lim _{R\to \infty }\int \limits _{C_{R}}f(z)e^{iaz}\,dz=0$

Доказательство

По определению интеграла

$\int _{C_{R}}f(z)e^{iaz}\,dz=\int _{0}^{\pi }f(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }f(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,.$

Далее, сделаем оценку:

$I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)e^{iaz}\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}f(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}f(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.$

Полагая

$M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|f\left(Re^{i\theta }\right)\right|,$

получим

$I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,.$

Функция sin θ вогнута на отрезке θ ∈ [0, π ⁄ 2], поэтому при указанных θ выполнено неравенство

$\sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}.$

Значит,

$I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,,$

откуда следует требуемое, так как $\lim _{R\to \infty }M_{R}=0.$

См. также

• Вычет (комплексный анализ)

Ссылки

• 1.7.4. Лемма К. Жордана в комплексном пространстве Y / В. И. ЕЛИСЕЕВ. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
• ЖОРДАНА ЛЕММА / Е. Д. Соломенцев., Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.