Вычет (комплексный анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.

История[править | править вики-текст]

Теория вычетов одного комплексного переменного была в основном разработана О. Коши в 18251829 гг. Кроме него, важные и интересные результаты были получены Ш. Эрмитом, Ю. Сохоцким, Э. Линделёфом и многими другими.

В 1887 году А. Пуанкаре обобщил интегральную теорему Коши и понятие вычета на случай двух переменных[1], с этого момента и берёт своё начало многомерная теория вычетов. Однако, оказалось, что обобщить это понятие можно различными способами.

Обозначение[править | править вики-текст]

Для обозначения вычета аналитической функции f(z) в точке z_0 применяется выражение \mathop{\mathrm{Res}} \left[ f(z), z_0 \right], от лат. Residuum. В русскоязычной литературе иногда обозначается как Выч\left[ f(z), z_0 \right][2].

Одномерный комплексный анализ[править | править вики-текст]

Определение[править | править вики-текст]

Пусть f(z) — комплекснозначная функция в области D\subseteq\mathbb C, голоморфная в некоторой проколотой окрестности точки a\in D.

Вычетом функции f(z) в точке a называется число

\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)=\lim_{\rho\to0}{1\over{2\pi i}}\int\limits_{|z-a|=\rho}\! f(z)\,dz.

В силу голоморфности функции f(z) в малой проколотой окрестности точки a по теореме Коши величина интеграла не зависит от \rho при достаточно малых значениях этого параметра, так же как и от формы пути интегрирования. Важно только то, что путь является замкнутой кривой в области аналитичности функции, один раз охватывающей рассматриваемую точку и никаких других точек не принадлежащих области голоморфности f.

В некоторой окрестности точки a функция f(z) представляется сходящимся рядом Лорана по степеням z-a. Нетрудно показать, что вычет совпадает с коэффициентом ряда c_{-1} при (z-a)^{-1}. Часто это представление принимают за определение вычета функции.

Вычет в «бесконечности»[править | править вики-текст]

Для возможности более полного изучения свойств функции вводится понятие вычета в бесконечности, при этом она рассматривается как функция на сфере Римана. Пусть бесконечно удалённая точка является изолированной особой точкой f(z), тогда вычетом в бесконечности называется комплексное число, равное

\mathop{\mathrm{Res}}_\infty\,f(z)=-\lim_{\rho\to\infty}{1\over{2\pi i}}\int\limits_{|z|=\rho}\!f(z)\,dz.

Цикл интегрирования в этом определении ориентирован положительно, то есть против часовой стрелки.

Аналогично предыдущему случаю вычет в бесконечности имеет представление и в виде коэффициента лорановского разложения в окрестности бесконечно удалённой точки:

\mathop{\mathrm{Res}}_\infty\,f(z)=-c_{-1}.

Вычет дифференциальной формы[править | править вики-текст]

С точки зрения анализа на многообразиях вводить специальное определение для некоторой выделенной точки сферы Римана (в данном случае, бесконечно удалённой) неестественно. Более того, такой подход затруднительно обобщить на более высокие размерности. Поэтому понятие вычета вводится не для функций, а для дифференциальных (1,\;0)-форм на сфере Римана:

\mathop{\mathrm{Res}}_a\,\omega=\lim_{\rho\to0}{1\over{2\pi i}}\int\limits_{|z-a|=\rho}\!\omega.

На первый взгляд разницы в определениях никакой, однако теперь a — произвольная точка \overline{\mathbb C}, и смена знака при вычислении вычета в бесконечности достигается за счёт замены переменных в интеграле.

Логарифмические вычеты[править | править вики-текст]

Интеграл {1\over{2\pi i}}\oint\limits_L\!{f^\prime(z)\over f(z)}\,dz называется логарифмическим вычетом функции f(z) относительно контура L.

Понятие логарифмического вычета используется для доказательства теоремы Руше и основной теоремы алгебры

Способы вычисления вычетов[править | править вики-текст]

Согласно определению вычет может быть вычислен как контурный интеграл, однако в общем случае это довольно трудоёмко. Поэтому на практике пользуются, в основном, следствиями из определения:

  • В устранимой особой точке a\in \mathbb C, так же как и в точке регулярности, вычет функции f(z) равен нулю. В то же время для бесконечно удалённой точки это утверждение не верно. Например, функция f(z)=\frac{1}{z} имеет в бесконечности нуль первого порядка, однако, \mathop{\mathrm{Res}}_{\infty}\,\frac1{z}=-1. Причина этого в том, что форма \frac{dz}{z} имеет особенность как в нуле, так и в бесконечности.
  • В полюсе a кратности n вычет может быть вычислен по формуле:
\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)={1\over(n-1)!}\lim_{z\to a}{{d^{(n-1)}\over dz^{(n-1)}}[(z-a)^n f(z)]},

частный случай n=1

\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)=\lim_{z\to a}{(z-a) f(z)}.
  • Если функция f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} имеет простой полюс в точке a, где g(z) и h(z) голоморфные в окрестности a функции, h(a)=0, g(a)\neq0, то можно использовать более простую формулу:
\mathop{\mathrm{Res}}_a\,f(z)=\frac{g(a)}{h^\prime(a)}.
  • Очень часто, особенно в случае существенно особых точек, удобно вычислять вычет пользуясь разложением функции в ряд Лорана. Например, \mathop{\mathrm{Res}}_0\,e^{1/z}=\mathop{\mathrm{Res}}_0\,\left(1+\frac1{z}+\frac1{2!z^2}+\ldots\right)=1, так как коэффициент при z^{-1} равен 1.

Приложения теории вычетов[править | править вики-текст]

В большинстве случаев теория вычетов применяется для вычисления разного рода интегральных выражений с помощью основной теоремы о вычетах. Часто полезной в данных случаях бывает лемма Жордана.

Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций[править | править вики-текст]

Пусть функция R(u,\;v) — рациональная функция переменных u и v. Для вычисления интегралов вида \int\limits_0^{2\pi}R\!(\sin\varphi;\;\cos\varphi)\,d\varphi удобно использовать формулы Эйлера. Положив, что z=e^{i\varphi}, и произведя соответствующие преобразования, получим:

\int\limits_0^{2\pi}\!R(\sin\varphi,\;\cos\varphi)\,d\varphi=2\pi i\sum\mathop{\mathrm{Res}}_{z=z_k}R(z).

Вычисление несобственных интегралов[править | править вики-текст]

Для вычисления несобственных интегралов с применением теории вычетов используют следующие две леммы:

1. Пусть функция f(z) голоморфна в верхней полуплоскости I^+=\{z\mid\operatorname{Im}\,z\geqslant0\} и на вещественной оси за исключением конечного числа n полюсов, не лежащих на вещественной оси и \lim_{z\to\infty}zf(z)=0 . Тогда

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(x)\,dx=2\pi i\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{Res}}_{z=z_k}f(z).

2. Пусть функция f(z) голоморфна в верхней полуплоскости I^+=\{z\mid\operatorname{Im}\,z\geqslant0\} и на вещественной оси за исключением конечного числа n полюсов, не лежащих на вещественной оси, \lim_{z\to\infty}zf(z)=0 и \alpha>0. Тогда

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\!f(x)e^{i\alpha x}\,dx=2\pi i\sum_{k=1}^n\mathop{\mathrm{Res}}_{z = z_k}f(z)e^{i\alpha z}

При этом интегралы в левых частях равенств не обязаны существовать и поэтому понимаются только лишь в смысле главного значения (по Коши).

Многомерный комплексный анализ[править | править вики-текст]

Форма-вычет и класс-вычет[править | править вики-текст]

Локальный вычет[править | править вики-текст]

Вычетный поток[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. H. Poincaré. Sur les résidues des intégrales doubles // Acta Math. — 1887. — № 9. — С. 321—380. — DOI:10.1007/BF02406742
  2. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — 3-е изд., доп. — М.: Наука, 1974. — 320 с.

Литература[править | править вики-текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1976.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. . Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1979.
  • Айзенберг Л. А., Южаков А. П. . Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. — Новосибирск: Наука, 1979.
  • Цих А. К. . Многомерные вычеты и их применения. — Новосибирск: Наука, 1988.