Теорема Жордана

Не следует путать с леммой Жордана.

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета)

Не всегда интуитивно очевидно, находится ли точка во внутренней части кривой

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».

Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда. В случае кривых специального вида, таких как ломаные, утверждение доказывается относительно просто.

Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются жордановыми.

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году. Однако Томас Хейлс пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных.

Формулировка

Любая замкнутая кривая Жордана $\gamma$ на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ разбивает её на две компоненты и является их общей границей.

Замечания

Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой $\gamma$, а неограниченная — внешней.

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой $\gamma$ равен $1$ или $-1$, совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен $0$, совпадает с внешней часть.

Согласно, теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой $\gamma$ гомеоморфна кругу.

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Айзик Исаакович Вольперт.
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем.

Вариации и обобщения

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое $(n-1)$-мерное подмногообразие в $\mathbb {R} ^{n}$, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При $n=3$ это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего $n$-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.

• Более того, любое компактное связное $(n-1)$-мерное подмногообразие в $\mathbb {R} ^{n}$ разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
  • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

• Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.
• Дикий узел

Литература

• Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: изд-во МЦНМО, 2003.
• Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176.
• Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
• Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
• Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
• Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М.: 1964.
• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.