Теорема Жордана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета).

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.

Формулировка[править | править код]

Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая разбивает плоскость на две связные компоненты и является их общей границей. [1]

Замечания[править | править код]

Из двух связных компонент одна (внутренность ) — ограниченная; характеризуется тем, что степень относительно любой точки в равна ; другая (внешность ) — неограниченная, и степень относительно любой точки в равна нулю. По теореме Шёнфлиса, первая всегда гомеоморфна диску. [1]

История[править | править код]

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Часто утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году.[2] Однако Томас Хейлс[en] пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае, когда замкнутая кривая является многоугольником.[3]

О доказательствах[править | править код]

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Теорема Жордана обобщается по размерности:
Любое -мерное подмногообразие в , гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.
При это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего -мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.[1]
  • Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
    • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
    • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 И. М. Виноградов. Жордана теорема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  2. См., например, Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.
  3. Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. — Vol. 10, no. 23. — P. 45—60.
  4. А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана // УМН. — 1950. — Т. 5, № 5(39). — С. 173—176.
  5. P. H. Doyle. “Plane separation”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.

Литература[править | править код]