Алгебраическое расширение: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Rasim (обсуждение | вклад) викификация, шаблон (см комментарий) |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
* |
*Любое [[Конечное расширение|конечные расширения]] алгебраично. |
||
* Расширения <math>E\supset F</math> и <math>F\supset G</math> алгебраичны, тогда и только тогда, когда <math>E\supset G</math> алгебраично. |
|||
Пусть ''K<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> E<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> F''. Если ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> E'' алгебраичны, то и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично. Обратно, если ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраично, то и ''E<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' и ''F<span style='font-family:Symbol'>É</span> K'' алгебраичны. |
|||
В самом деле, если ''α'' — какой-нибудь элемент ''F'', то он по определению является корнем некоторого многочлена ''f(x)'' с коэффициентами ''a<sub>1</sub>,…a<sub>n</sub>'' из ''E''. Так как все эти ''a<sub>i</sub>'' алгебраичны над ''K'', то расширение ''K(a<sub>1</sub>,…a<sub>n</sub>)'' является [[Конечное расширение|конечным]] над ''K'', а так как ''α'' алгебраично над ''L=K(a<sub>1</sub>,…a<sub>n</sub>)'', то имеем по свойству башни конечных расширений, что ''L(α)'' конечно над ''K'', а элемент α алгебраичен над ''K''. Обратное утверждение очевидно. |
|||
Если ''α'' и ''β'' алгебраичны над ''K'', то из предыдущего следует, что ''K(α,β)=K(α)(β)'' алгебраично над ''K'', а значит, ''α+β,α-β,αβ,α/β'' тоже алгебраичны. Отсюда следует, что если ''K<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> E'', то множество элементов ''K<sup>*</sup><span style='font-family:Symbol'>Ì</span> E'', алгебраических над ''К'' образуют поле. Если ''E'' является [[Алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутым]], то и ''K<sup>*</sup>'' алгебраически замкнуто. Если взять за ''K'' поле [[Рациональное число|рациональных чисел]] '''R''', а за ''E'' алгебраически замкнутое по [[Основная теорема алгебры|основной теореме алгебры]] поле [[Комплексное число|комплексных чисел]] '''C''', то получим поле [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] '''A'''. |
|||
Если ''E<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> K'' алгебраично, то для любого расширения ''F<span style='font-family: |
|||
Symbol'>Ì</span> K'' то (если ''F'' и ''E'' содержатся в каком-нибудь поле) композит полей ''EF'' является алгебраическим расширением ''F''). Это легко следует из предыдущего. |
|||
== Литература == |
== Литература == |
||
Версия от 02:16, 2 февраля 2011
Алгебраи́ческое расшире́ние — расширение поля , каждый элемент которого алгебраичен над , то есть существует многочлен с коэффициентами из для которого является корнем.
Свойства
- Любое конечные расширения алгебраично.
- Расширения и алгебраичны, тогда и только тогда, когда алгебраично.
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967
 | Для улучшения этой статьи желательно:
|