Конечное расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коне́чное расшире́ние — расширение поля , такое, что конечномерно над как векторное пространство. Размерность векторного пространства над называется степенью расширения и обозначается .

Свойства конечных расширений[править | править вики-текст]

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть , так как для любого элемента набор из элементов не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над степени не выше , такой, что является его корнем.

Простое алгебраическое расширение является конечным. Если неприводимый многочлен над имеет степень , то .

В башне полей , поле конечно над тогда и только тогда, когда конечно над и конечно над . Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если  — базис над и  — базис над то  — базис над , отсюда .

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса . Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, . Элементы будучи алгебраическими над остаются таковыми и над бо́льшим полем . Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если конечно, то для любого расширения то, (если и содержатся в каком-нибудь поле) композит полей является конечным расширением ).

Литература[править | править вики-текст]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М:, ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра — М:, Мир, 1967