Замкнутое множество: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 4: | Строка 4: | ||
== Определение == |
== Определение == |
||
Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>. [[Множество]] <math>V \subset X</math> называется замкнутым относительно топологии <math>\mathcal{T}</math>, если существует [[открытое множество]] <math>U \in \mathcal{T},</math> такое что <math>V = X \setminus U</math>. |
Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>. [[Множество]] <math>V \subset X</math> называется замкнутым относительно топологии <math>\mathcal{T}</math>, если существует [[открытое множество]] <math>U \in \mathcal{T},</math> такое что <math>V = X \setminus U</math>. |
||
Замыканием называется множество <math>\bar{X}=\{x\in\mathbb{R}^n:\forall\varepsilon>0~X\cap U_\varepsilon(x)\ne\oslash\}</math>, |
|||
где <math>U_\varepsilon(x)</math> - <math>\epsilon</math>-окрестность точки x (определение из курса [[Методы оптимизации]]). |
|||
== Операция замыкания == |
== Операция замыкания == |
Версия от 09:37, 8 января 2012
За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам. Замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения.
Определение
Пусть дано топологическое пространство . Множество называется замкнутым относительно топологии , если существует открытое множество такое что .
Операция замыкания
Замыканием множества топологического пространства называют минимальное по включению замкнутое множество содержащее . Замыкание множества обычно обозначается , или если надо подчеркнуть что рассматривается как множество в пространстве .
Критерий замкнутости
Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий: .
Примеры
- Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
- Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
- Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .