Совершенное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Совершенное множествозамкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Теорема Кантора — Бендиксона[править | править вики-текст]

Теорема Кантора — Бендиксона является утверждением о структуре всякого несчётного замкнутого множества. Эта теорема обобщена на случай подмножеств метрического пространства со счётной базой (см. теорема Линделёфа)

Формулировка[править | править вики-текст]

Всякое несчётное замкнутое множество есть сумма совершенного множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек.

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство опирается на три теоремы. Оно вытекает из теорем 2 и 3. Для доказательства достаточно заметить, что множество точек конденсации в силу замкнутости .

Теорема 1[править | править вики-текст]

Для того, чтобы точка была точкой конденсации множества , необходимо и достаточно, чтобы любая рациональная окрестность точки содержала несчётное множество точек из .

Пояснения[править | править вики-текст]

Рациональной окрестностью точки называется любой интервал с рациональными концами, содержащими эту точку, которая может и не быть центром интервала.

Доказательство[править | править вики-текст]
Необходимость[править | править вики-текст]

Пусть — точка конденсации и — произвольная рациональная окрестность точки . Выберем . Тогда окрестность точки попадёт целиком в . Так как — точка конденсации, то , а тем самым и , будут содержать несчётное множество точек из .

Достаточность[править | править вики-текст]

Пусть любая рациональная окрестность точки содержит несчётное множество точек из . Рассмотрим произвольную окрестность точки и пусть и — два рациональных числа, расположенные соответственно между и и между и . Тогда в окрестность попадёт целиком рациональная окрестность а вместе с ней и несчётное множество точек из . Но это значит, что есть точка конденсации.

Теорема 2[править | править вики-текст]

Формулировка[править | править вики-текст]

Всякое несчётное множество содержит несчётное множество своих точек конденсации.

Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть — множество точек из , не являющимися точками конденсации множества . Если , то доказывать нечего. Пусть и . Так как не является точкой конденсации, то найдется рациональная окрестность точки , содержащая не более счётного множества точек из , в том числе точек из . Таким образом, все множество может быть заключено в некоторую систему рациональных интервалов, каждый из которых содержит не более счётного числа точек из . Так как всех рациональных интервалов счётное множество, то отсюда следует, что также не более чем счётно. Тогда — множество точек конденсации множества несчетно.

Теорема 3[править | править вики-текст]

Формулировка[править | править вики-текст]

Множество точек конденсации несчётного множества совершенно.

Доказательство[править | править вики-текст]

Покажем сначала, что замкнуто. Пусть и — произвольный рациональный интервал, содержащий точку . Для достаточно малого интервал попадёт целиком внутрь . Так как — предельная точка для множества точек конденсации, то содержит хотя бы одну точку конденсации , а вместе с ней и некоторую окрестность точки . Но тогда эта окрестность, а следовательно, и , содержит несчётное множество точек из , и поскольку — произвольная рациональная окрестность точки , то есть точка конденсации, то есть . Покажем, что не содержит изолированных точек. Пусть — произвольная точка из и — произвольная окрестность точки . Тогда эта окрестность содержит несчётное множество точек из . Рассмотрим несчётное множество . По теореме 1 оно содержит несчётное множество своих точек конденсации. Каждая точка конденсации для есть в то же время точка конденсации для . Следовательно, внутрь попадает несчётное множество точек из , и, таким образом, не является изолированной точкой этого множества.

Литература[править | править вики-текст]

  • Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. 

— М.: Наука, 1968 — стр. 79.