Сумма Римана

Четыре метода суммирования по Риману для аппроксимации области, расположенной между кривой и осью абсцисс. Аппроксимация правым и левым методами производится с использованием правых и левых предельных точек на каждом подынтервале соответственно. Методы максимума и минимума осуществляют аппроксимацию с использованием наибольшего и наименьшего значений предельных точек на каждом подынтервале соответственно.

Сумма Римана — один из механизмов определения интеграла через сумму вида $\sum f(x)\Delta x$. Используется в определении интеграла Римана. Названа в честь первооткрывателя, Бернхарда Римана.

Определение

Пусть $f:D\rightarrow R$ является функцией определённой на подмножестве $D$ на вещественной прямой $R$. $I=[a,b]$ — замкнутый интервал содержащийся в $D$. $P={[x_{0},x_{1}),[x_{1},x_{2}),...[x_{n-1},x_{n}]}$ является разбиением $I$, в котором $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n}=b$.

Сумма Римана функции $f$ с разбиением $P$ определяется следующим образом:

$S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})$

где $x_{i-1}\leqslant x_{i}^{*}\leqslant x_{i}$. Выбор $x_{i}^{*}$ в данном интервале является произвольным. Если $x_{i}^{*}=x_{i-1}$ для всех $i$, тогда $S$ называется левой суммой Римана. Если $x_{i}^{*}=x_{i}$, тогда $S$ называется правой суммой Римана. Если $x_{i}^{*}={\frac {1}{2}}(x_{i}+x_{i-1})$, тогда $S$ называется средней суммой Римана. Усреднённое значение левой и правой суммы Римана называется трапециевидной суммой.

Если Сумма Римана представляется в виде:

$S=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x_{i}-x_{i-1})$,

где $v_{i}$ является точной верхней границей множества $f$ на интервале $[x_{i-1},x_{i}]$, то $S$ называется верхней суммой Римана. Аналогично, если $v_{i}$ является точной нижней границей множества $f$ интервале $[x_{i-1},x_{i}]$, то $S$ называется нижней суммой Римана.

Любая сумма Римана с заданным разбиением (при выборе любого значения $x_{i}^{*}$ из интервала $[x_{i-1},x_{i}]$) находится между нижней и верхней суммами Римана.

Если для функции $f$ и отрезка $[a;b]$ существует предел сумм Римана, когда шаг разбиения стремится к нулю (независимо от выбора $x_{i}^{*}$), то этот предел называют интегралом Римана функции $f$ на отрезке $[a;b]$ и обозначается $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$.

Литература

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.