Суммы Рамануджана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров и , вида:

где и .

Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса , то есть

если .

Суммы можно представить через функцию Мёбиуса :

Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо , либо . Так, например, .

Применение сумм Рамануджана[править | править вики-текст]

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по . Верно и обратное.

Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

где  — мультипликативная функция,  — целое число,  — в общем случае, комплексное.

В простейшем случае, можно получить

где  — дзета-функция Римана,  — сумма -х степеней делителей числа .

Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.

Литература[править | править вики-текст]

  1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
  2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
  3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
  4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
  5. Tитчмapш, E. К. Теория дзета-функции Римана. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 407 с. — ISBN 5114800906..
  6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.