Суммы Рамануджана

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров $k$ и $n$, вида:

$c_{k}(n)=\sum _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k}}\right)=\sum _{h}\exp \left({\frac {2\pi nhi}{k}}\right),$

где $h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0}$ и $(h,\;k)=1$.

Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса $k$, то есть

$c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),$

если $(k,\;k')=1$.

Суммы $c_{k}(n)$ можно представить через функцию Мёбиуса $\mu$:

$c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d}}\right)d.$

Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо $k$, либо $n$. Так, например, $c_{k}(1)=1$.

Применение сумм Рамануджана

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по $c_{k}(n)$. Верно и обратное.

Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s}}}f(n),\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}f(k),$

где $f(n)$ — мультипликативная функция, $q$ — целое число, $s$ — в общем случае, комплексное.

В простейшем случае, можно получить

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},$

где $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана, $\sigma _{k}(n)$ — сумма $k$-х степеней делителей числа $n$.

Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.

Литература

1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
4. Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
5. Tитчмapш, E. К. Теория дзета-функции Римана. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 407 с. — ISBN 5114800906..
6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.