Суммы Рамануджана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров k и n, вида:

c_k(n)=\sum_h\cos\left(\frac{2\pi nh}{k}\right)=\sum_h\exp\left(\frac{2\pi nhi}{k}\right),

где h<k,\;h\in\mathbb{Z}_0 и (h,\;k)=1.

Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса k, то есть

c_{kk'}(n)=c_k(n)c_{k'}(n),

если (k,\;k')=1.

Суммы c_k(n) можно представить через функцию Мёбиуса \mu:

c_k(n)=\sum_{d\setminus(k,\;n)}\mu\left(\frac{k}{d}\right)d.

Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо k, либо n. Так, например, c_k(1)=1.

Применение сумм Рамануджана[править | править исходный текст]

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по c_k(n). Верно и обратное.

Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

\sum_{n=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{n^s}f(n),\quad\sum_{k=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{k^s}f(k),

где f(n) — мультипликативная функция, q — целое число, s — в общем случае, комплексное.

В простейшем случае, можно получить

\sum_{k=1}^\infty\frac{c_k(qn)}{k^s}=\frac{\sigma_{1-s}(n)}{\zeta(s)},

где \zeta(s) — дзета-функция Римана, \sigma_k(n) — сумма k-х степеней делителей числа n.

Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.

Литература[править | править исходный текст]

  1. Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
  2. Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
  3. Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
  4. Vоlkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
  5. Tитчмapш, E. К. Теория дзета-функции Римана. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 407 с. — ISBN 5114800906.
  6. Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.