Дзета-функция Римана

Запрос «Дзета-функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Качественный график дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности

Дзета-функция Римана — функция $\displaystyle \zeta(s)$ комплексного переменного $s = \sigma + i t$, при $\sigma > 1$ определяемая с помощью ряда Дирихле:

$\zeta(s) = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,$

где $\displaystyle s \in \mathbb{C}$.

В заданной области $\sigma > 1 ~(\left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\})$ этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

Дзета-функция Римана для вещественных s > 1

Тождество Эйлера

В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

$\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам $\displaystyle p$.

Почему это так  

Решето Эратосфена для поиска простых чисел используется в этом доказательстве.

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:

$\zeta(s) = 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+ \ldots$

$\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+ \ldots$

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

$\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+ \ldots$

Повторяем для следующего:

$\frac{1}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+\frac{1}{33^s}+ \ldots$

Опять вычитаем, получаем:

$\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+ \ldots$

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

$\ldots \left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1$

Поделим обе стороны на всё, кроме $\zeta(s)$, получим:

$\zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{11^s}\right) \ldots }$

Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:

$\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}$

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда $\quad \Re(s)>1$, просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для $\zeta(s)$.

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости

• Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

  $2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}$, где $\displaystyle B_{2m}$ — число Бернулли.

  • В частности, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$.
• Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.
• При $\operatorname{Re}\,s> 1$
  • $\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}$, где $\displaystyle \mu(n)$ — функция Мёбиуса
  • $\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}$, где $\displaystyle \tau(n)$ — число делителей числа $\displaystyle n$
  • ${\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}$, где $\displaystyle \nu(n)$ — число простых делителей числа $\displaystyle n$
• $\displaystyle \zeta(s)$ имеет в точке $\displaystyle s=1$ простой полюс с вычетом, равным 1.
• Дзета-функция при $\displaystyle s\ne 0, s\ne 1$ удовлетворяет уравнению:

  $\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$,

где $\displaystyle \Gamma(z)$ — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.

• Для функции

  $\xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)$,

введённой Риманом для исследования $\displaystyle \zeta(s)$ и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:

$\displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s)$.

Нули дзета-функции

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости $\operatorname{Re}\,s < 0$, функция $\zeta(s)$ имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: $0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots$. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, $\zeta(s) \neq 0$ при вещественных $s \in (0,1)$. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали $\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2$ и лежат в полосе $0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1$, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой $\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2$.

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

• Дзета-функция Гурвица:

  $\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Полилогарифм:

  $\mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},$

который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.

• Дзета-функция Лерха:

  $\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Квантовый аналог (q-аналог).

Аналогичные конструкции

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора. Пусть $A$ — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр $\mathrm{spec} A = \mathrm{diag} \{\lambda_1, \lambda_2, \dots \}$. Причём существует вещественное число $\alpha > 0$ такое, что оператор $(I + A)^{- \alpha}$ имеет след. Тогда дзета-функция $\zeta_A(s)$ оператора $A$ определяется для произвольного комплексного числа $s$, лежащего в полуплоскости $\mathrm{Re} s > \alpha$, может быть задана сходящимся рядом

$\zeta_A(s) = \sum_{\lambda_n \neq 0} \frac{1}{\lambda_n^s}$

Если заданная таким образом функция допускает продолжение аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки $s = 0$, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора $A$ в соответствии с формулой

$\det \,'A = e^{- \frac{d\zeta_A}{ds}(0)}.$

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.