Дзета-функция Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
График дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция комплексного переменного , при , определяемая с помощью ряда Дирихле:

В комплексной полуплоскости этот ряд сходится, является аналитической функцией от и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки .

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

Дзета-функция Римана для вещественных s > 1

Тождество Эйлера[править | править код]

В области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

,

где произведение берётся по всем простым числам .

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства[править | править код]

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
  • Если взять асимптотическое разложение при частичных сумм вида
    ,

справедливую для , она же останется верной и для всех , кроме тех, для которых . Из этого можно получить следующие формулы для :

  1. , при , кроме ;
  2. , при , кроме или ;
  3. , при , кроме , или и т. д.
  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
    , где  — число Бернулли.
В частности, (ряд обратных квадратов),
  • Кроме того, получено значение , где  — полигамма-функция;
  • Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное[1].
  • При
    • , где  — функция Мёбиуса
    • , где  — функция Лиувиля
    • , где  — число делителей числа
    • , где  — число простых делителей числа
  • При
  • имеет в точке простой полюс с вычетом, равным 1.
  • Дзета-функция при удовлетворяет уравнению:
    ,
где  — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал[2].
  • Для функции
    ,
введённой Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
.

Нули дзета-функции[править | править код]

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой .

Представления конкретных значений[править | править код]

ζ(2)[править | править код]

Из формулы , где число Бернулли, получаем, что .

Другие представления в виде рядов[править | править код]

Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна [3]:

Существуют также представления для вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять -ый знак его записи без вычисления предыдущих[3]:

Интегральные представления[править | править код]

Ниже приведены формулы для с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана[4][5][6]:

Цепные дроби[править | править код]

Представления в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери , дающими возможность доказать её иррациональность.

[7][неавторитетный источник?]
[8]

ζ(3)[править | править код]

Основная статья: Постоянная Апери

Одним из наиболее коротких представлений является , где полигамма-функция.

ζ(4)[править | править код]

Из формулы , где число Бернулли, получаем, что .

Обобщения[править | править код]

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
  • Полилогарифм:
который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

Аналогичные конструкции[править | править код]

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора[9]. Пусть  — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр . Причём существует вещественное число , такое, что оператор имеет след. Тогда дзета-функция оператора определяется для произвольного комплексного числа , лежащего в полуплоскости , может быть задана сходящимся рядом

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора в соответствии с формулой

История[править | править код]

Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

Примечания[править | править код]

  1. Зудилин В. В. Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56, № 2(338). — С. 215–216.
  2. Благушин Я. В. История функционального уравнения дзета-функции и роль различных математиков в его доказательстве // Семинары по истории математики санкт-петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН. — 2018.
  3. 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function \zeta(2). MathWorld. Дата обращения 29 апреля 2018.
  4. Connon D. F., Некоторые ряды и интегралы, включающие Дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (часть I), arΧiv:0710.4022 
  5. Weisstein, Eric W. Double Integral. MathWorld. Дата обращения 29 апреля 2018.
  6. Weisstein, Eric W. Hadjicostas's Formula. MathWorld. Дата обращения 29 апреля 2018.
  7. Continued fractions for Zeta(2) and Zeta(3). tpiezas: A COLLECTION OF ALGEBRAIC IDENTITIES. Дата обращения 29 апреля 2018.
  8. van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3), The Mathematical Intelligencer Т. 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf> 
  9. Тахтаджян, 2011, с. 348.

Литература[править | править код]

  • Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
  • Тахтаджян Л. А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к. ф.-м. н. С. А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.
  • Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы / Пер. с 6-го переработанного немецкого издания под ред. Л. И. Седова. — Изд. 3-е, стереотип. — М.: Наука, 1977. — 344 с.

Ссылки[править | править код]