Дзета-функция Римана

Запрос «Дзета-функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Качественный график дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности

Дзета-функция Римана — функция $\displaystyle \zeta (s)$ комплексного переменного $s=\sigma +it$, при $\sigma >1$ определяемая с помощью ряда Дирихле:

$\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,$

где $\displaystyle s\in {\mathbb {C}}$.

В заданной области $\sigma >1~(\left\{s\mid \operatorname {Re}\,s>1\right\})$ этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

Дзета-функция Римана для вещественных s > 1

Тождество Эйлера

В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{{-s}}}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам $\displaystyle p$.

Почему это так  

Решето Эратосфена для поиска простых чисел используется в этом доказательстве.

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:

$\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots$

${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\ldots$

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\ldots$

Повторяем для следующего:

${\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\ldots$

Опять вычитаем, получаем:

$\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots$

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

$\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1$

Поделим обе стороны на всё, кроме $\zeta (s)$, получим:

$\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}$

Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{{-s}}}}$

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда $\quad \Re (s)>1$, просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для $\zeta (s)$.

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости

• Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

  $2\zeta (2m)=(-1)^{{m+1}}{\frac {(2\pi )^{{2m}}}{(2m)!}}B_{{2m}}$, где $\displaystyle B_{{2m}}$ — число Бернулли.

  • В частности, $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}},\ \ \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$.
• Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.
• При $\operatorname {Re}\,s>1$
  • ${\frac 1{\zeta (s)}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \mu (n)$ — функция Мёбиуса
  • $\zeta ^{2}(s)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \tau (n)$ — число делителей числа $\displaystyle n$
  • ${\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {2^{{\nu (n)}}}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \nu (n)$ — число простых делителей числа $\displaystyle n$
• $\displaystyle \zeta (s)$ имеет в точке $\displaystyle s=1$ простой полюс с вычетом, равным 1.
• Дзета-функция при $\displaystyle s\neq 0,s\neq 1$ удовлетворяет уравнению:

  $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{{s-1}}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$,

где $\displaystyle \Gamma (z)$ — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.

• Для функции

  $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{{-s/2}}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$,

введённой Риманом для исследования $\displaystyle \zeta (s)$ и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:

$\displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)$.

Нули дзета-функции

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости $\operatorname {Re}\,s<0$, функция $\zeta (s)$ имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\dots$. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, $\zeta (s)\neq 0$ при вещественных $s\in (0,1)$. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали $\operatorname {Re}\,s={\frac 12}$ и лежат в полосе $0\leqslant \operatorname {Re}\,s\leqslant 1$, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой $\operatorname {Re}\,s={\frac 12}$.

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

• Дзета-функция Гурвица:

  $\zeta (s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }(k+q)^{{-s}},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Полилогарифм:

  ${\mathrm {Li}}_{s}(z)=\sum _{{k=1}}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},$

который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.

• Дзета-функция Лерха:

  $\Phi (z,s,q)=\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Квантовый аналог (q-аналог).

Аналогичные конструкции

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора. Пусть $A$ — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр ${\mathrm {spec}}A={\mathrm {diag}}\{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \}$. Причём существует вещественное число $\alpha >0$ такое, что оператор $(I+A)^{{-\alpha }}$ имеет след. Тогда дзета-функция $\zeta _{A}(s)$ оператора $A$ определяется для произвольного комплексного числа $s$, лежащего в полуплоскости ${\mathrm {Re}}s>\alpha$, может быть задана сходящимся рядом

$\zeta _{A}(s)=\sum _{{\lambda _{n}\neq 0}}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}$

Если заданная таким образом функция допускает продолжение аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки $s=0$, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора $A$ в соответствии с формулой

$\det \,'A=e^{{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}}.$

История

Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.

Ссылки

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0