График дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности
Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция
комплексного переменного
, при
, определяемая с помощью ряда Дирихле:

В комплексной полуплоскости
этот ряд сходится, является аналитической функцией от
и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки
.
Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.
В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости
, то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.
Дзета-функция Римана для вещественных
s > 1
В области
также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
,
где произведение берётся по всем простым числам
.
Доказательство
Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:


Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

Повторяем для следующего:

Опять вычитаем, получаем:

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.
Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

Поделим обе стороны на всё, кроме
, получим:

Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда
, просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для
.
Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
- Если взять асимптотическое разложение при
частичных сумм вида
,
справедливую для
, она же останется верной и для всех
, кроме тех, для которых
. Из этого можно получить следующие формулы для
:
, при
, кроме
;
, при
, кроме
или
;
, при
, кроме
,
или
и т. д.
- Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
, где
— число Бернулли.
- В частности,
(ряд обратных квадратов), 
- Кроме того, получено значение
, где
— полигамма-функция;
- Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное[1].
- При
, где
— функция Мёбиуса
, где
— функция Лиувиля
, где
— число делителей числа 

, где
— число простых делителей числа 


- При
имеет в точке
простой полюс с вычетом, равным 1.
- Дзета-функция при
удовлетворяет уравнению:
,
- где
— гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал[2].
- Для функции
,
- введённой Риманом для исследования
и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
.
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости
функция
имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках:
. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее,
при вещественных
. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали
и лежат в полосе
, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой
.
Представления конкретных значений[править | править код]
Из формулы
, где
— число Бернулли, получаем, что
.
Другие представления в виде рядов[править | править код]
Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна
[3]:


Существуют также представления для
вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять
-й знак его записи без вычисления предыдущих[3]:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {27}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{64^{k}}}\left[{\frac {16}{(6k+1)^{2}}}-{\frac {24}{(6k+2)^{2}}}-{\frac {8}{(6k+3)^{2}}}-{\frac {6}{(6k+4)^{2}}}+{\frac {1}{(6k+5)^{2}}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0642a9a6f82a532e1cc72b497ad5fdfa826a00e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {4}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{729^{k}}}\left[{\frac {243}{(12k+1)^{2}}}-{\frac {405}{(12k+2)^{2}}}-{\frac {81}{(12k+4)^{4}}}-{\frac {27}{(12k+5)^{2}}}-\right.\\-\left.{\frac {72}{(12k+6)^{2}}}-{\frac {9}{(12k+7)^{2}}}-{\frac {9}{(12k+8)^{2}}}-{\frac {5}{(12k+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12k+11)^{2}}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/612d3b77fc0298965579062bd9caddc3d6ce62c1)
Ниже приведены формулы для
с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана[4][5][6]:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f620c0956799fa7eb5638d04d58ed301bf9858)
Некоторые из представлений
в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери
, дающими возможность доказать её иррациональность.
[7]
[7]
[8][неавторитетный источник?]
[9]
Одним из наиболее коротких представлений является
, получаем, что
, где
— полигамма-функция.
Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:
![{\displaystyle \zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb512b9c1a11943ace87e893a66cae0c8c210ed)

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

Она может быть преобразована к виду:

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:
[10][11]
Из формулы
, где
— число Бернулли, получаем, что
.
Одним из наиболее коротких представлений является
, получаем, что
, где
— полигамма-функция.
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:
- Дзета-функция Гурвица:

- которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
- Полилогарифм:

- который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
- Дзета-функция Лерха:

- которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора[12]. Пусть
— неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр
. Причём существует вещественное число
, такое, что оператор
имеет след. Тогда дзета-функция
оператора
определяется для произвольного комплексного числа
, лежащего в полуплоскости
, может быть задана сходящимся рядом

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки
, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора
в соответствии с формулой

Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение.
Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел.
Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.
- ↑ Зудилин В. В. Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56, № 2(338). — С. 215–216.
- ↑ Благушин Я. В. История функционального уравнения дзета-функции и роль различных математиков в его доказательстве // Семинары по истории математики санкт-петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН. — 2018.
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function \zeta(2) (неопр.). MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
- ↑ Connon D. F., Некоторые ряды и интегралы, включающие Дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (часть I), arΧiv:0710.4022
- ↑ Weisstein, Eric W. Double Integral (неопр.). MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
- ↑ Weisstein, Eric W. Hadjicostas's Formula (неопр.). MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
- ↑ 1 2 Steven R. Finch Mathematical Constants 1.4.4
- ↑ Continued fractions for Zeta(2) and Zeta(3) (неопр.). tpiezas: A COLLECTION OF ALGEBRAIC IDENTITIES. Дата обращения: 29 апреля 2018.
- ↑ van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3), The Mathematical Intelligencer Т. 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf>
- ↑ Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
- ↑ van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3), The Mathematical Intelligencer Т. 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf>
- ↑ Тахтаджян, 2011, с. 348.
- Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
- Тахтаджян Л. А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к. ф.-м. н. С. А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.
- Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы / Пер. с 6-го переработанного немецкого издания под ред. Л. И. Седова. — Изд. 3-е, стереотип. — М.: Наука, 1977. — 344 с.