Дзета-функция Римана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
График дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля масштаб шкалы значений функции увеличен в 100 раз для наглядности

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция комплексного переменного , при , определяемая с помощью ряда Дирихле:

В комплексной полуплоскости этот ряд сходится, является аналитической функцией от и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки .

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

Дзета-функция Римана для вещественных s > 1

Тождество Эйлера[править | править код]

В области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства[править | править код]

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости
  • Если взять асимптотическое разложение при частичных сумм вида
    ,

справедливую для , она же останется верной и для всех , кроме тех, для которых (это тривиальные корни дзета-функции). Из этого можно получить следующие формулы для :

  1. , при , кроме ;
  2. , при , кроме или ;
  3. , при , кроме , или и т. д.
  • Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
    , где  — число Бернулли.
В частности, (ряд обратных квадратов),
  • Кроме того, получено значение , где  — полигамма-функция;
  • Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное[1].
  • При
    • , где  — функция Мёбиуса
    • , где  — функция Лиувиля
    • , где  — число делителей числа
    • , где  — число простых делителей числа
  • При
  • имеет в точке простой полюс с вычетом, равным 1.
  • Дзета-функция при удовлетворяет уравнению:
    ,
где  — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал[2].
  • Для функции
    ,
введённой Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
.

Нули дзета-функции[править | править код]

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой .

Представления конкретных значений[править | править код]

ζ(2)[править | править код]

Из формулы , где число Бернулли, получаем, что .

Другие представления в виде рядов[править | править код]

Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна [3]:

Существуют также представления для вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять -й знак его записи без вычисления предыдущих[3]:

Интегральные представления[править | править код]

Ниже приведены формулы для с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана[4][5][6]:

Цепные дроби[править | править код]

Некоторые из представлений в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери , дающими возможность доказать её иррациональность.

[7]
[7]
[8][неавторитетный источник?]
[9]

ζ(3)[править | править код]

Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что , где полигамма-функция.

Цепные дроби[править | править код]

Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

Она может быть преобразована к виду:

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

[10][9]

ζ(4)[править | править код]

Из формулы , где число Бернулли, получаем, что .

ζ(5)[править | править код]

Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что , где полигамма-функция.

Обобщения[править | править код]

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
  • Полилогарифм:
который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

Аналогичные конструкции[править | править код]

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора[11]. Пусть  — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр . Причём существует вещественное число , такое, что оператор имеет след. Тогда дзета-функция оператора определяется для произвольного комплексного числа , лежащего в полуплоскости , может быть задана сходящимся рядом

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора в соответствии с формулой

История[править | править код]

Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

Примечания[править | править код]

  1. Зудилин В. В. Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56, № 2(338). — С. 215–216.
  2. Благушин Я. В. История функционального уравнения дзета-функции и роль различных математиков в его доказательстве // Семинары по истории математики санкт-петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН. — 2018.
  3. 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function \zeta(2). MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
  4. Connon D. F., Некоторые ряды и интегралы, включающие Дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (часть I), arΧiv:0710.4022 
  5. Weisstein, Eric W. Double Integral. MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
  6. Weisstein, Eric W. Hadjicostas's Formula. MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
  7. 1 2 Steven R. Finch Mathematical Constants 1.4.4
  8. Continued fractions for Zeta(2) and Zeta(3). tpiezas: A COLLECTION OF ALGEBRAIC IDENTITIES. Дата обращения: 29 апреля 2018.
  9. 1 2 van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3), The Mathematical Intelligencer Т. 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf> 
  10. Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
  11. Тахтаджян, 2011, с. 348.

Литература[править | править код]

  • Дербишир Дж. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — М.: Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
  • Тахтаджян Л. А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С. А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.
  • Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы / Пер. с 6-го переработанного немецкого издания под ред. Л. И. Седова. — Изд. 3-е, стереотип. — М.: Наука, 1977. — 344 с.

Ссылки[править | править код]