Дзета-функция Римана

Запрос «Дзета-функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Для термина «Риман» см. также другие значения.

Качественный график дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля значения функции увеличены в 100 раз для наглядности

Дзета-функция Римана — функция $\displaystyle \zeta (s)$ комплексного переменного $s=\sigma +it$, при $\sigma >1$ определяемая с помощью ряда Дирихле:

$\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,$

где $\displaystyle s\in \mathbb {C}$.

В заданной области $\sigma >1~(\left\{s\mid \operatorname {Re} \,s>1\right\})$ этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.

Дзета-функция Римана для вещественных s > 1

Тождество Эйлера

В области $\left\{s\mid \operatorname {Re} \,s>1\right\}$ также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$ ,

где произведение берётся по всем простым числам $\displaystyle p$.

Доказательство  

Решето Эратосфена для поиска простых чисел используется в этом доказательстве.

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:

$\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots$

${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\ldots$

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\ldots$

Повторяем для следующего:

${\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\ldots$

Опять вычитаем, получаем:

$\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots$

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

$\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1$

Поделим обе стороны на всё, кроме $\zeta (s)$, получим:

$\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}$

Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда $\quad \Re (s)>1$, просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для $\zeta (s)$.

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости

• Если взять асимптотическое разложение при ${N\rightarrow +\infty }$ частичных сумм вида

  $\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)+{\frac {1}{1-s}}N^{1-s}+{\frac {1}{2}}N^{-s}-{\frac {5}{12}}sN^{-1-s}+\dots$,

справедливую для ${\rm {Re}}\,s>1$, она же останется верной и для всех $s$, кроме тех, для которых $2-s\in {\mathbb {N} }$. Из этого можно получить следующие формулы для $\zeta (s)$:

1. $\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}\right)$, при ${\rm {Re}}\,s>0$, кроме $s=1$;
2. $\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}\right)$, при ${\rm {Re}}\,s>-1$, кроме $s=1$ или $0$;
3. $\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+{\frac {5}{12}}sN^{-1-s}\right)$, при ${\rm {Re}}\,s>-2$, кроме $s=1$, $0$ или $-1$ и т.д.

• Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

  $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$, где $\displaystyle B_{2m}$ — число Бернулли.

В частности, $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}},\ \ \zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2}},\ \ \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}$ ,

где $\psi$ — полигамма-функция;

• Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.
• При $\operatorname {Re} \,s>1$
  • ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \mu (n)$ — функция Мёбиуса
  • ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \lambda (n)$ — функция Лиувиля
  • $\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \tau (n)$ — число делителей числа $\displaystyle n$
  • ${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}$
  • ${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \nu (n)$ — число простых делителей числа $\displaystyle n$
  • ${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}$
  • ${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}$
• $\displaystyle \zeta (s)$ имеет в точке $\displaystyle s=1$ простой полюс с вычетом, равным 1.
• Дзета-функция при $\displaystyle s\neq 0,s\neq 1$ удовлетворяет уравнению:

  $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$,

где $\displaystyle \Gamma (z)$ — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем кто его первым строго доказал.

• Для функции

  $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$,

введённой Риманом для исследования $\displaystyle \zeta (s)$ и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:

$\displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)$.

Нули дзета-функции

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости $\operatorname {Re} \,s<0$, функция $\zeta (s)$ имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\dots$. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, $\zeta (s)\neq 0$ при вещественных $s\in (0,1)$. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали $\operatorname {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ и лежат в полосе $0\leqslant \operatorname {Re} \,s\leqslant 1$, которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой $\operatorname {Re} \,s={\frac {1}{2}}$.

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

• Дзета-функция Гурвица:

  $\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Полилогарифм:

  $\mathrm {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}},$

который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.

• Дзета-функция Лерха:

  $\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Квантовый аналог (q-аналог).

Аналогичные конструкции

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора. Пусть $A$ — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр $\mathrm {spec} A=\mathrm {diag} \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \}$. Причём существует вещественное число $\alpha >0$, такое, что оператор $(I+A)^{-\alpha }$ имеет след. Тогда дзета-функция $\zeta _{A}(s)$ оператора $A$ определяется для произвольного комплексного числа $s$, лежащего в полуплоскости $\mathrm {Re} s>\alpha$, может быть задана сходящимся рядом

$\zeta _{A}(s)=\sum _{\lambda _{n}\neq 0}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}$

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки $s=0$, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора $A$ в соответствии с формулой

$\det \,'A=e^{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}.$

История

Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

Литература

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.

Ссылки

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.