Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема[править | править вики-текст]

Любая целая функция , имеющая не более чем счётное количество нулей , где точка 0 — нуль порядка , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

,

где  — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа подобраны таким образом, чтобы ряд

сходился при всех . При соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной ).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции , которая в заданных точках точках () имеет нули кратности , является произведение

,

где  — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа подобраны таким образом, чтобы ряд

сходился при всех .

Замечание[править | править вики-текст]

Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

Литература[править | править вики-текст]

  • Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл.
  • Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.
  • Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 316