Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема[править | править вики-текст]

Любая целая функция f, имеющая не более чем счётное количество нулей \{0\}\cup\{a_n\}\to\infty, где точка 0 — нуль порядка \lambda, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right),

где h — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа p_n подобраны таким образом, чтобы ряд

\sum_1^\infty \frac{1}{p_n+1}\left|\frac{z}{a_n}\right|^{p_n+1}

сходился при всех z. При p_n = 0 соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной \exp(0) = 1).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции f, которая в заданных точках точках z=a_k (a_k\to\infty) имеет нули кратности n_k, является произведение

f(z)=z^{n_0} e^{h(z)}\prod_{k=1}^\infty\left\{\left(1-\frac{z}{a_k}\right)\exp\left(\frac{z}{a_k}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_k}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_k}\left(\frac{z}{a_k}\right)^{p_k}\right)\right\}^{n_k},

где h — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа p_n подобраны таким образом, чтобы ряд

\sum_{k=1}^\infty \frac{n_k}{p_k+1}\left|\frac{z}{a_k}\right|^{p_k+1}

сходился при всех z.

Замечание[править | править вики-текст]

Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

Литература[править | править вики-текст]

  • Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл.
  • Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.
  • Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 316