Бесконечное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике для последовательности чисел бесконечное произведение [1]

определяется как предел частичных произведений при . Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм.

Если все числа положительны, то можно применить операцию логарифмирования. Тогда исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости числового ряда.

Cходимость[править | править вики-текст]

Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство . Следовательно, логарифм определён для всех , за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности это конечное число членов, получим равенство:

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого , обозначим , тогда и , откуда следует неравенство:

которое показывает, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма .

Примеры[править | править вики-текст]

Известные примеры бесконечных произведений, формулы для числа , открытые соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

;
.

Тождество Эйлера для дзета-функции

,

где произведение берётся по всем простым числам . Это произведение сходится при .

Представление функции в виде бесконечного произведения[править | править вики-текст]

В комплексном анализе известно, что синус и косинус могут быть разложены в бесконечное произведение многочленов

Эти разложения являются следствием общей теоремы о том, что любая целая функция , имеющая не более чем счётное количество нулей , где точка 0 — нуль порядка , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

,

где  — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа подобраны таким образом, чтобы ряд сходился. При соответственная множителю номер экспонента опускается (считается равной ).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — С. 350—364.

Ссылки[править | править вики-текст]