Теорема Дворецкого

Tеорема Дворецкого — утверждает, что каждое центрально-симметричное выпуклое множество достаточно высокой размерности имеет сечение, близкое к эллипсоиду.

Доказана Арье Дворецким в начале 1960-х годов как ответ на вопрос поставленный Александром Гротендиком. Альтернативное доказательство найдено Виталием Мильманом в 1970-х годах, оно послужило одной из отправных точек для развития принципа концентрации меры и асимптотического геометрического анализа.

Формулировка

Для любого натурального числа $k$ и каждого $\varepsilon >0$ существует такое натуральное число $K$, что если $(X,\|{*}\|)$ — нормированное пространство размерности $K$, то существует подпространство $E\subset X$ размерности $k$ и положительная квадратичная форма $Q$ на $E$, такая, что:

$\|x\|\leqslant {\sqrt {Q(x)}}\leqslant (1+\varepsilon )\cdot \|x\|$

для любого $x\in E$.