Эллипсоид

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эллипсоид вращения

Эллипсо́ид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей. Каноническое уравнение эллипсоида в декартовых координатах, совпадающих с осями деформации эллипсоида:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, где a, b, c — произвольные положительные числа.

Величины a, b, c называют полуосями эллипсоида. Эллипсоид представляет собой одну из возможных форм поверхностей второго порядка.

Constructie ellipsoïde.gif
Ellipsoid 321.png

В случае, когда пара полуосей имеет одинаковую длину, эллипсоид может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Такой эллипсоид называют эллипсоидом вращения или сфероидом.

Эллипсоид более точно, чем сфера, отражает идеализированную поверхность Земли.

Площадь поверхности эллипсоида вращения[источник не указан 928 дней]:

S = 4 \pi b^2 \left( 1 + \frac{2}{3}e^2 + \frac{3}{5}e^4 + \frac{4}{7}e^6 + ... + \frac{k+1}{2k+1}e^{2k} + ...  \right).

В элементарных функциях[источник не указан 928 дней]:

S_{\rm oblate} =  2\pi a^2\left(1+\frac{1-e^2}{e}\mathrm{arth}\,e\right)
\quad\mbox{,}\quad e^2=1-\frac{c^2}{a^2}\quad(c<a),
S_{\rm prolate} =  2\pi a^2\left(1+\frac{c}{ae}\sin^{-1}e\right)
\quad\qquad\mbox{,}\;\quad e^2=1-\frac{a^2}{c^2}\quad(c>a),

Oblate, prolate — сплюснутый и вытянутый соответственно.

Также эллипсоидом называют тело, ограниченное поверхностью эллипсоида. Объём эллипсоида:

V = \frac{4}{3} \pi abc.

Литература[править | править вики-текст]