Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция комплексных переменных ограничена, то есть

то есть константа.

Обобщения[править | править код]

  • Если целая функция в и для некоторого ,
то есть многочлен по переменным степени не выше .
то есть гармонический многочлен по переменным.

История[править | править код]

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 Коши для случая . Лиувилль излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название.

Доказательство (для случая )[править | править код]

Пусть ограничена на комплексной плоскости, то есть

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной

Где  — окружность радиуса , содержащая точку .

Имеем

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем

А значит и, следовательно, является константой. Теорема доказана.