Теорема О’Нэна — Скотта

Теорема О'Нэна – Скотта — это одна из наиболее влиятельных теорем теории групп перестановок. Столь полезной эту теорему делает классификация простых конечных групп. В исходном виде теорема была о максимальных подгруппах симметрической группы. Она появилась как дополнение к статье Леонарда Скотта, написанной для конференции в Санта-Круз по конечным группам в 1979 со сноской, что Майкл О'Нэн независимо доказал тот же результат.

Теорема утверждает, что максимальная подгруппа симметрической группы $\mathrm {Sym} (\Omega )$, где $|\Omega |=n$, является одной из следующих:

1. $S_{k}\times S_{n-k}$ стабилизатор k-множества (то есть интранзитивна)
2. S_a wr S_b с n = ab, стабилизатор разбиения на b частей размера a (то есть импримитивна)
3. примитивная (то есть не сохраняет нетривиальное разбиение) и одна из следующих типов:

• AGL(d,p)
• S_l wr S_k, стабилизатор структуры произведения $\Omega =\Delta ^{k}$
• группа диагонального типа
• почти простая группа

В статье «О теореме О'Нэна – Скотта для примитивных групп перестановок» М.У. Либек, Шерил Прегер и Ян Саксл дают полное замкнутое доказательство теоремы. В дополнение к доказательству они выявили, что истинная сила теоремы О'Нэна – Скотта заключается в возможности разбить конечные примитивные группы на различные типы.

Типы О'Нэна – Скотта

Восемь типов О'Нэна – Скотта конечных примитивных групп перестановок следующие:

HA (голоморф абелевой группы): Это примитивные группы, которые являются подгруппами конечной аффинной полной линейной группы AGL(d,p) для некоторого простого p и положительного целого $d\geqslant 1$. Для такой группы G, если она примитивна, она должна содержать подгруппу всех переносов, и стабилизатор G₀ группы G нулевого вектора должен быть неприводимой подгруппой группы GL(d,p). Примитивные группы типа HA описываются наличием единственной минимальной нормальной подгруппы, которая является элементарно абелевой и действует регулярно.

HS (голоморф простой группы): Пусть T — конечная неабелева простая группа. Тогда $M=T{\times }T$ действует на $\Omega =T$ с помощью $t^{(t_{1},t_{2})}=t_{1}^{-1}tt_{2}$. Теперь M имеет две минимальные нормальные подгруппы $N_{1},N_{2}$, каждая из которых изоморфна T и каждая действует регулярно на $\Omega$, одна с помощью правого умножения, а другая с помощью левого умножения. Действие группы M является примитивным и если мы возьмём $\alpha =1_{T}$, мы получим $M_{\alpha }=\{(t,t)|t\in T\}$, которая включает Inn(T) из $\Omega$. Фактически любой автоморфизм группы T будет действовать на $\Omega$. Примитивная группа типа HS является тогда любой группой G, такой, что $M\cong T.\mathrm {Inn} (T)\leqslant G\leqslant T.\mathrm {Aut} (T)$. Все такие группы имеют N₁ и N₂ в качестве минимальных нормальных подгрупп.

HC (голоморф составной группы): Пусть T — неабелева простая группа и пусть $N_{1}\cong N_{2}\cong T^{k}$ для некоторого целого $k\geqslant 2$. Пусть $\Omega =T^{k}$. Тогда $M=N_{1}\times N_{2}$ действует транзитивно на $\Omega$ посредством $x^{(n_{1},n_{2})}=n_{1}^{-1}xn_{2}$ для всех $x\in \Omega ,n_{1}\in N_{1},n_{2}\in N_{2}$. Как и в случае HS, мы имеем $M\cong T^{k}.\mathrm {Inn} (T^{k})$ и любой автоморфизм группы $T^{k}$ действует на $\Omega$. Примитивная группа типа HC является группой G, такой, что $M\leqslant G''\leqslant T^{k}.\mathrm {Aut} (T^{k})$ и G порождает подгруппу $\mathrm {Aut} (T^{k})=\mathrm {Aut} (T)\operatorname {wr} S_{k}$, которая действует транзитивно на множестве k простых прямых множителей $T^{k}$. Любая такая G имеет две минимальные нормальные подгруппы, каждая изоморфна T^k и регулярна.

Группа типа HC сохраняет структуру произведения $\Omega =\Delta ^{k}$, где $\Delta =T$ и $G\leqslant H\operatorname {wr} S_{k}$, где H является примитивной группой типа HS на $\Delta$.

TW (скрещённое сплетение): Здесь G имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N и $N\cong T^{k}$ для некоторой конечной неабелевой простой группы T и N действует регулярно на $\Omega$. Такие группы могут быть построены как скрещённое сплетение и потому обозначается буквами TW (от англ. twisted wreath). Условия, требующиеся для получения примитивности, подразумевают, что $k\geqslant 6$, так что наименьшая степень таких примитивных групп равна 60⁶ .

AS (почти простая): Здесь G является группой, лежащей между T и Aut(T ), то есть G является почти простой группой, отсюда и обозначение (англ. almost simple). Мы ничего не говорим о действии, кроме того, что оно примитивное. Анализ этого типа требует знания о возможных примитивных действиях почти простых групп, что эквивалентно знанию максимальных подгрупп почти простых групп.

SD (простая диагональная): Пусть $N=T^{k}$ для некоторой неабелевой простой группы T и целое $k\geqslant 2$ и пусть $H=\{(t,\dots ,t)|t\in T\}\leqslant N$. Тогда N действует на множестве $\Omega$ на правых классах смежности H в N по правому умножению. Мы можем взять $\{(t_{1},\dots ,t_{k-1},1)|t_{i}\in T\}$ как множество представителей классов смежности для H в N и мы можем отождествить $\Omega$ с $T^{k-1}$. Теперь $(s_{1},\dots ,s_{k})\in N$ переводит класс смежности с представителями $(t_{1},\dots ,t_{k-1},1)$ в класс смежности $H(t_{1}s_{1},\dots ,t_{k-1}s_{k-1},s_{k})=H(s_{k}^{-1}t_{k}s_{1},\dots ,s_{k}^{-1}t_{k-1}s_{k-1},1)$. Группа S_k порождает автоморфизмы группы N путём перестановки элементов и оставляет неподвижной подгруппу H, а потому действует на множестве $\Omega$. Заметим также, что H действует на $\Omega$ путём порождения Inn(T) и, фактически, любой автоморфизм $\sigma$ группы T действует на $\Omega$ путём отображения классом смежности с представителями $(t_{1},\dots ,t_{k-1},1)$ в класс смежности $(t_{1}^{\sigma },\dots ,t_{k-1}^{\sigma },1)$. Тогда мы берём группу W = N. $(\mathrm {Out} (T)\times S_{k})\leqslant \mathrm {Sym} (\Omega )$. Примитивная группа типа SD является группой $G\leqslant W$, такой, что $N\vartriangleleft G$ и G порождает примитивную подгруппу группы S_k на k простых прямых множителях N.

CD (составная диагональная): Здесь $\Omega =\Delta ^{k}$ и $G\leqslant H\operatorname {wr} S_{k}$, где H является примитивной группой типа SD на $\Delta$ с минимальной нормальной подгруппой T^l. Более того, $N=T^{kl}$ является минимальной нормальной подгруппой группы G и G порождает транзитивную подгруппу группы S_k.

PA (действие на произведения): Здесь $\Omega =\Delta ^{k}$ и $G\leqslant H\operatorname {wr} S_{k}$, где H является примитивной почти простой группой с цоколем T. Тогда G имеет действие на произведения на $\Omega$. Более того, $N=T^{k}\vartriangleleft G$ и G порождает транзитивную подгруппу группы S_k в её действии на k простых прямых множителя N.

Некоторые авторы используют другое деление на типы. Наиболее часто типы HS и SD рассматриваются как «диагональный тип», а типы HC, CD и PA рассматриваются как «тип, действующий на произведения». Прегер позднее обобщила теорему О'Нэна – Скотта на квазипримитивные группы в статье «Теорема О'Нэна – Скотта для конечных квазипримитивных групп перестановок и приложения к 2-дуговым транзитивным графам».

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "O'Nan–Scott theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4