Теорема Фату

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Предположим, что у нас есть функция , аналитическая в единичном круге . В определенных случаях очень нужно установить условия, при которых она может быть аналитически продолжена на единичную окружность .

Для этого применяется следующий метод — изучение поведения функции на окружностях вида . Для этого введем вспомогательную функцию . Видно, что поведение функции на зависит от поведения семейства функций при . Пользуясь терминологией функционального анализа, теперь можно сформулировать собственно теорему:

Теорема[править | править вики-текст]

Пусть аналитична в и для неё конечна норма Харди:

Тогда будет иметь место поточечная сходимость почти всюду семейства функций к некоторой функции .