Теорема Фату

Предположим, что у нас есть функция $f$, аналитическая в единичном круге $\Delta =\{z:|z|<1\}$. В определенных случаях необходимо установить условия, при которых она может быть аналитически продолжена на единичную окружность $\partial \Delta$.

Для этого применяется следующий метод — изучение поведения функции на окружностях вида ${\partial \Delta }_{r}=\{z:|z|=r<1\}$. Для этого введем вспомогательную функцию $f_{r}(e^{i\varphi })=f(re^{i\varphi })$. Видно, что поведение функции $f$ на $\partial \Delta$ зависит от поведения семейства функций $\{f_{r}\}$ при $r\to 1$. Пользуясь терминологией функционального анализа, теперь можно сформулировать саму теорему:

Теорема

Пусть $f$ аналитична в $\Delta$ и для неё конечна норма Харди:

$\lVert f\rVert _{H^{p}}=\sup _{0<r<1}\lVert f_{r}\rVert _{L^{p}(\partial \Delta )}<\infty$

Тогда будет иметь место поточечная сходимость почти всюду семейства функций $\{f_{r}\}$ к некоторой функции $f_{1}\in L^{p}(\partial \Delta )$.