Теорема Фогта

Рис. 1. Теорема Фогта (слева — в оригинальной формулировке)

Теорема Фогта устанавливает соотношения между граничными углами плоской кривой с монотонно изменяющейся кривизной (спиральной дуги) в зависимости от возрастания / убывания кривизны.

Названа в честь немецкого математик Вольфганга Фогта (Wolfgang Wilhelm Vogt, 1883—1916).

Формулировка В. Фогта

В оригинальной статье (Satz 12) теорема сформулирована так:

Пусть $A$ и $B$ – две последовательные точки пересечения кривой с монотонной кривизной и прямой $g$, $\alpha$ и $\beta$ — углы между хордой $AB$ и касательными лучами в точках $A$ и $B$, лежащими с той же стороны от $g$, что и дуга ${\overset {\frown }{AB}}$. Тогда угол $\alpha$ больше, меньше, или равен $\beta$, соответственно тому, возрастает ли кривизна от $A$ до $B$, убывает ли, или остаётся постоянной.

В статье (как и в монографии, Theorem 3-17) рассматриваются только выпуклые кривые с непрерывной кривизной $k(s)$. Требование выпуклости означает знакопостоянство кривизны (отсутствие у кривой точки перегиба). По сути, в этой формулировке речь идёт об абcолютных величинах кривизны $|k(s)|$ и углов $|\alpha |,\,|\beta |$. Другие доказательства этой теоремы в тех же предположениях даны в статьях, , .

Теорему иллюстрирует левая колонка рисунка 1.

Модифицированная формулировка теоремы

Модифицированная версия теоремы Фогта (см., теорема 1)

• рассматривает углы $\alpha$ и $\beta$ как ориентированные, измеренные относительно направления хорды ${\overrightarrow {AB}}$;
• формулируется с учётом естественного знака кривизны (в смысле $k(s)={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} s}},$ где $\tau (s)$ — угол наклона касательной к кривой);
• не требует непрерывности и знакопостоянства кривизны;
• распространяется не только на выпуклые спиральные дуги, но и на все короткие спирали — те, которые не закручиваются вокруг концевых точек, то есть не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой (хотя могут пересекать саму хорду, как кривая $A_{6}B_{6}$ на рис. 1).

Формулировка:

Пусть $k_{1}$ — кривизна короткой спирали ${\overset {\frown }{AB}}$ в начальной точке $A$, $k_{2}$ — её кривизна в конечной точке $B$. Тогда

$\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta ),\qquad \qquad (1)$

или, подробнее, для случаев возрастающей и убывающей кривизны,

${\begin{array}{llcc}{\text{если}}\quad k_{1}<k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta >0,\quad &-\pi <\alpha \leq \pi ,\;&-\pi <\beta \leq \pi ;\\{\text{если}}\quad k_{1}>k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta <0,\quad &-\pi \leq \alpha <\pi ,\;&-\pi \leq \beta <\pi .\end{array}}\qquad \qquad (2)$

Правая колонка рисунка 1 иллюстрирует модифицированную версию теоремы Фогта (для случая убывающей кривизны). К примеру, кривые $A_{1}B_{1}$ и $A_{4}B_{4}$ на рис. 1 одинаковы и имеют отрицательную убывающую кривизну: $0>k_{1}>k_{2}$. Неравенства Фогта, $k_{1}<k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha >\beta ,$ подразумевают $|k_{1}|<|k_{2}|\;\Rightarrow \;|\alpha |>|\beta |,$ что, с учётом знаков кривизн и ориентированных углов, означает ${-k_{1}}<{-k_{2}}\;\Rightarrow \;\alpha >{-\beta },$ или $k_{1}>k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha +\beta <0,$ в соответствии с (1).

Отразив кривые 4-7 симметрично относительно хорды (что влечёт смену знаков у $k_{1},k_{2},\alpha ,\beta$), получим примеры с возрастающей кривизной.

Геометрический смысл суммы $\alpha +\beta$

Рис. 2. Линза спиральной дуги AB

Пусть по короткой спирали ${\overset {\frown }{AB}}$ движется точка от $A$ к $B.$ Для каждого положения $P(s)$ подвижной точки построим круговую дугу ${\overset {\frown }{APB}}$ (рис. 2). Угол наклона касательной к этой дуге в точке $A$ обозначим $\varphi (s)$.

• Функция $\varphi (s)$ строго монотонна; $\lim \limits _{P\to A}\varphi (s)=\alpha ,$ $\lim \limits _{P\to B}\varphi (s)=-\beta .$
• Дуги ${\overset {\frown }{APB}}$ заметают линзу — область, ограниченную двумя круговыми дугами, опирающимися на хорду $AB$, одна из которых имеет со спиралью общую касательную в точке $A$, вторая — в точке $B.$
• Любая короткая спираль с граничными углами $\alpha$ и $\beta$ заключена внутри линзы (теорема 2 в).
• Сумма $\sigma =\alpha +\beta$ равна по модулю угловой ширине линзы, а её знак соответствует возрастанию${}^{(+)}$/ убыванию${}^{(-)}$ кривизны.

Обобщение теоремы

Рис. 3.

Дальнейшее обобщение теоремы Фогта касается сколь угодно закрученных спиралей, для чего углы $\alpha ,\,\beta$ переопределяются в кумулятивном смысле, как «углы, помнящие свою историю».

Рассмотрим на спирали ${\overset {\frown }{AB}}$ длины $S$ точку $P(s)$, движущуюся от $A=P(0)$ к $B=P(S)$. Для достаточно малой (короткой) дуги ${\overset {\frown }{AP}}(s)$ значения граничных углов $\alpha (s)$ и $\beta (s)$, измеренных относительно направления подвижной хорды ${\overrightarrow {AP}}(s),$ близки к нулю, и при удалении точки $P$ от $A$ они могут достичь значений $\pm \pi .$ Договоримся о сохранении непрерывности функций $\alpha (s)$ и $\beta (s)$ при достижении значений, кратных $\pi .$ Обозначим

${\widetilde {\alpha }}=\alpha (S),\quad {\widetilde {\beta }}=\beta (S).$

Так, на рис. 3 угол $\beta (s)$ достигает значения $+\pi$, когда точка $P(s)$ достигает положения $P_{8}$, после чего $\beta (s)>\pi$.

В статье (теорема 1) показано, что сумма $\sigma (s)=\alpha (s)+\beta (s)$ есть монотонная функция длины дуги, возрастающая или убывающая как и кривизна $k(s)$. Функция $\sigma (s)$ строго монотонна, за исключением начального участка постоянной кривизны (если таковой имеется), в пределах которого $\sigma (s)\equiv 0.$ Тем самым формулировка (1) распространяется и на длинные спирали в виде

$\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).$

Связанные утверждения:

• При дробно-линейном отображении спирали значение $\sigma$ сохраняется.
• Вариация поворота спирали ограничена неравенствами $|\sigma |<\mathrm {Var} \,\tau (s)<|\sigma |+2\pi$ и остаётся в этих пределах при инверсии спирали.

Обратная теорема

В качестве утверждения, обратного теореме Фогта, А. Островский формулирует условия, допускающие существование (выпуклой) спиральной дуги с заданными граничными углами. В «ориентированном» варианте они принимают вид неравенств (2).

В (theorem 3-18) сформулированы усиленные условия для случая, когда дополнительно к углам заданы значения граничных радиусов кривизны.

В (теорема 3) эти условия распространены на короткие (и не только выпуклые) спирали: Для существования короткой спирали ${\overset {\frown }{AB}},$ отличной от бидуги, с граничными углами $\alpha ,\;\beta$ и кривизнами $k_{1},\;k_{2}$ необходимо и достаточно выполнения условий (2) и неравенства $Q<0$, где

$Q=(k_{1}c+\sin \alpha )(k_{2}c-\sin \beta )+\sin ^{2}{\frac {\alpha {+}\beta }{2}},\quad c={\frac {1}{2}}|AB|\,.\qquad \qquad (3)$

Если спираль является бидугой, то $Q=0\,.$

Пояснение и пример построения

Рис. 4. Варианты взаимного расположения ориентированных окружностей

Пусть ${\mathcal {K}}_{A}$ и ${\mathcal {K}}_{B}$ — граничные круги кривизны спиральной дуги $AB$, $\psi$ — их угол пересечения. Тогда $Q=\sin ^{2}{\frac {\psi }{2}},$ а неравенство $Q<0$ означает, что угол $\psi$ чисто мнимый. Это, в свою очередь, можно интерпретировать следующим образом: круги ${\mathcal {K}}_{A}$ и ${\mathcal {K}}_{B}$ не имеют общих точек и расположены так, что при сближении их пересечению будет предшествовать касание — совпадение ориентированных касательных в общей точке.

Неравенство $Q<0$ выполнено для любой пары зелёных окружностей на Рис. 4. Произвольно выбрав начальную точку $A$ на одной из них и конечную точку $B$ на другой, можно построить спиральную дугу, для которой окружности ${\mathcal {K}}_{A}$ и ${\mathcal {K}}_{B}$ будут граничными кругами кривизны. Пример такого построения показан на фрагменте $Q=-0.88$ рисунка 4 точечной линией ($|AB|=2c=2,$ $\alpha \approx -78.34^{\circ },$ $k_{1}\approx 1.73,$ $\beta \approx -38.34^{\circ },$ $k_{2}\approx -2.76$).

Любые две синие окружности касаются, и для них $Q=0\;(\psi =0).$ Для выбранных на фрагменте $Q=0$ точек $A$ и $B$ единственная возможная спиральная дуга представляет собой бидугу $AB$ (изображена точками) и совпадает с окружностями ${\mathcal {K}}_{A}$ и ${\mathcal {K}}_{B}$.

Для любой пары пересекающихся (коричневых) окружностей построение спирали с такими кругами кривизны невозможно. Невозможно оно и для пар красных окружностей: у них либо $Q=1$ ($\psi =\pm \pi$, «противокасание»), либо $Q>1.$

Значение $Q$ (3) не зависит от выбора точек $A$ и $B$ на окружностях и может быть выражено, например, через их кривизны и межцентровое расстояние $L$:

$k_{1}k_{2}\neq 0\quad \Longrightarrow \quad Q={\frac {(k_{1}k_{2}L)^{2}-(k_{2}{-}k_{1})^{2}}{4k_{1}k_{2}}}.$

Задача построения спиральной дуги с заданными граничными условиями на концах в последние десятилетия активно обсуждается в CAD-приложениях (см., например, статьи и).

См. также

• Спираль: определения, основанные на монотонности кривизны.
• Бидуга.