Спираль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Согласно Математической Энциклопедии, спиралями называются плоские кривые, которые "обычно обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь или удаляясь от нее”. Это толкование термина не является строго формализуемым определением. Если какая-то известная кривая содержит в названии эпитет "спираль", то к этому следует относиться как к исторически сложившемуся названию.

Один из вариантов строгого определения, предполагающий монотонность полярного уравнения кривой, не универсален: выбрав другой полюс, мы можем нарушить имеющуюся монотонность, и только из-за этого кривая "перестанет быть спиралью", при том, что сама она не изменилась. У спирали Котеса (англ.) полярное уравнение немонотонно, а спираль Корню имеет два полюса и поэтому не описывается целиком в полярных координатах.

Строгим, однозначным и весьма плодотворным является, например, определение spiral arc в монографии [1], требующее выпуклости кривой, а также монотонности и непрерывности её кривизны как функции длины дуги кривой. Спиралью в этом смысле является четвертинка эллипса (между двумя соседними вершинами). Интерес к выпуклым кривым с монотонной кривизной был во многом связан с теоремой о четырёх вершинах овала, утверждающей (в терминах обсуждаемого определения), что простая замкнутая кривая состоит как минимум из четырёх спиральных дуг. При этом из-за требования выпуклости ни одна из "традиционных спиралей" не вписывается в это определение "целиком": вписывается только небольшая дуга кривой (например, логарифмической спирали).

Более общее определение, не требующее знакопостоянства и непрерывности кривизны, а лишь её монотонности, принято в статье [2]. В рамках этого определения свойство кривой быть спиралью инвариантно относительно дробно-линейных отображений кривой. Из известных "спиралей" в это определение не вписывается, например, Спираль Ферма.

Формальные определения спиральности, основанные на монотонности кривизны (с теми или иными уточнениями о выпуклости, строгой/нестрогой монотонности, ограничениях поворота кривой и т.п.) используются в приложениях из области автоматизированного проектирования. Основные приложения были связаны с конструированием скоростных дорог, в частности, построением переходных кривых, обеспечивающих постепенное изменение кривизны вдоль пути.

Плоские спирали[править | править вики-текст]

Окружность можно считать вырожденным частным случаем спирали (кривизна не строго монотонна, а является константой).

Некоторые из наиболее важных типов двумерных спиралей:

Трёхмерные спирали[править | править вики-текст]

Как и в двумерном случае, r — непрерывную монотонную функцию от θ.

Для простых трёхмерных спиралей третья переменная h — также непрерывная монотонная функция от θ. Например, коническая винтовая линия может быть определена как спираль на конической поверхности с расстоянием от вершины как экспоненциальной функцией от θ.

Для сложных трёхмерных спиралей, как, например, сферическая спираль, h возрастает с ростом θ с одной стороны от точки и убывает — с другой.

Сферическая спираль[править | править вики-текст]

Сферическая спираль (локсодрома) — это кривая на сфере, пересекающая все меридианы под одним углом (не прямым). Эта кривая имеет бесконечное число витков. Расстояние между ними убывает по мере приближения к полюсам.

Тела, имеющие форму спирали[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Guggenheimer H.W. Differential geometry.. — New York: Dover Publications, 1977. — С. 48. — ISBN 0-486-63433-7.
  2. Курносенко А.И. Общие свойства плоских спиральных кривых // Записки научных семинаров ПОМИ : том 353. — 2009. — С. 93-115. — ISSN 0373-2703.

Литература[править | править вики-текст]

  • Cook, T., 1903. Spirals in nature and art. Nature 68 (1761), 296.
  • Cook, T., 1979. The curves of life. Dover, New York.
  • Habib, Z., Sakai, M., 2005. Spiral transition curves and their applications. Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195 – 206.
  • Dimulyo, S., Habib, Z., Sakai, M., 2009. Fair cubic transition between two circles with one circle inside or tangent to the other. Numerical Algorithms 51, 461–476 [1].
  • Harary, G., Tal, A., 2011. The natural 3D spiral. Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [2].
  • Xu, L., Mould, D., 2009. Magnetic curves: curvature-controlled aesthetic curves using magnetic fields. In: Deussen, O., Hall, P. (Eds.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. The Eurographics Association [3].
  • Wang, Y., Zhao, B., Zhang, L., Xu, J., Wang, K., Wang, S., 2004. Designing fair curves using monotone curvature pieces. Computer Aided Geometric Design 21 (5), 515–527 [4].
  • A. Kurnosenko. Applying inversion to construct planar, rational spirals that satisfy two-point G2 Hermite data. Computer Aided Geometric Design, 27(3), 262-280, 2010 [5].
  • A. Kurnosenko. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola. Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474-481, 2010.
  • Miura, K.T., 2006. A general equation of aesthetic curves and its self-affinity. Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 [6].
  • Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Derivation of a general formula of aesthetic curves. In: 8th International Conference on Humans and Computers (HC2005). Aizu-Wakamutsu, Japan, pp. 166 – 171 [7].
  • Meek, D., Walton, D., 1989. The use of Cornu spirals in drawing planar curves of controlled curvature. Journal of Computational and Applied Mathematics 25 (1), 69–78 [8].
  • Farin, G., 2006. Class A Bézier curves. Computer Aided Geometric Design 23 (7), 573–581 [9].
  • Farouki, R.T., 1997. Pythagorean-hodograph quintic transition curves of monotone curvature. Computer-Aided Design 29 (9), 601–606.
  • Yoshida, N., Saito, T., 2006. Interactive aesthetic curve segments. The Visual Computer 22 (9), 896–905 [10].
  • Yoshida, N., Saito, T., 2007. Quasi-aesthetic curves in rational cubic Bézier forms. Computer-Aided Design and Applications 4 (9–10), 477–486 [11].
  • Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Analytic parametric equations of log-aesthetic curves in terms of incomplete gamma functions. Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129 – 140 [12].
  • Ziatdinov, R., Yoshida, N., Kim, T., 2012. Fitting G2 multispiral transition curve joining two straight lines, Computer-Aided Design 44(6), 591–596 [13].
  • Ziatdinov, R., 2012. Family of superspirals with completely monotonic curvature given in terms of Gauss hypergeometric function. Computer Aided Geometric Design 29(7): 510-518, 2012 [14].
  • Ziatdinov, R., Miura K.T., 2012. On the Variety of Planar Spirals and Their Applications in Computer Aided Design. European Researcher 27(8-2), 1227-1232 [15].

См. также[править | править вики-текст]