Теорема о примитивном элементе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени , такие что существует примитивный элемент с .

Терминология[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольное расширение поля. Элемент называется примитивным элементом для расширения , если

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент простого расширения можно записать в виде

где

Если же, кроме того сепарабельно и имеет степень n, существует , такое что множество

образует базис E как векторного пространства над F.

Формулировка[править | править вики-текст]

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:

Теорема. Пусть  — конечное расширение поля. Тогда для некоторого тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть  — конечное сепарабельное расширение. Тогда для некоторого .

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

Пример[править | править вики-текст]

Далеко не очевидно, что если добавить в корни многочленов и , получив поле степени 4 над , то существует элемент , через степени которого выражаются как , так и . Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

Степени выражаются как сумма и с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё и (например, ) откуда следует, что является примитивным элементом.

Примечания[править | править вики-текст]