Теория размерности

Не следует путать с анализом размерности — методом решения задач во многих областях науки.

Тео́рия разме́рности — часть общей топологии, в которой изучаются размерности — числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если $X$ есть полиэдр (в частности, многообразие) размерность $X$ совпадает с числом измерений в смысле элементарной геометрии.

Типы размерностей

• Индуктивная размерность — большая и малая индуктивные размерности $\left(\operatorname {Ind} \right.$ и $\left.\operatorname {ind} \right)$
• Размерность Лебега $\left(\operatorname {dim} \right)$
• Гомологическая размерность
• Когомологическая размерность

История

Первое общее определение размерности (большой индукционной размерности $\operatorname {Ind}$) было дано Брауэром (1913), оно основывалось на идее Пуанкаре. В 1921 г. Менгер и Урысон независимо от Брауэра и друг от друга пришли к похожему определению (так называемая малая индуктивная размерность $\operatorname {ind}$). Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от Лебега.

Размерность Хаусдорфа — связное определение для метрических пространств. Это определение дал Хаусдорф в 1919 году.

Определение по Урысону

Топологическая фигура является нульмерной, если в ней не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки. Множество имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границей.

Множество имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Множество имеет размерность $n$, если оно не является $n-1$, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна.

Точку $a$ множества $X$ отделяет от точки $b$ множество $A$ если в фигуре $X$ не существует связного множества, которое содержит точки $a$ и $b$ и не пересекается с $A$.

Топологическая фигура размерности $n$ определяется как фигура, не являющаяся фигурой размерности $n-1$ и в которой любую точку вместе с её окрестностью можно отделить от остальной части фигуры с помощью множества размерности, не превышающей $n-1$.

Литература

• Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности. — ИЛ, 1948.
• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. — М.: Наука, 1969. — 159 с.