Размерность Хаусдорфа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Размерность Хаусдорфа, хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение[править | править вики-текст]

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть  — ограниченное множество в метрическом пространстве .

-покрытия[править | править вики-текст]

Пусть . Не более чем счётный набор подмножеств пространства будем называть -покрытием множества , если выполнены следующие два свойства:

  • для любого : (здесь и далее означает диаметр множества ).

-мера Хаусдорфа[править | править вики-текст]

Пусть . Пусть  — покрытие множества . Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: .

Обозначим через «минимальный размер» -покрытия множества : , где инфимум берётся по всем -покрытиям множества .

Очевидно, что функция (нестрого) возрастает при уменьшении , поскольку при уменьшении мы только сжимаем множество возможных -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при :

.

Величина называется -мерой Хаусдорфа множества .

Свойства -меры Хаусдорфа[править | править вики-текст]

  • -мера Хаусдорфа является борелевской мерой на .
  • с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; -мера Хаусдорфа множеств в совпадает с их -мерным объёмом.
  • убывает по . Более того, для любого множества существует[1][2][3] критическое значение , такое, что:
    • для всех
    • для всех

Значение может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа[править | править вики-текст]

Размерностью Хаусдорфа множества называется число из предыдущего пункта.

Примеры[править | править вики-текст]

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на частей, подобных исходному множеству с коэффициентами , то его размерность является решением уравнения . Например,

  • размерность множества Кантора равна (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
  • размерность треугольника Серпинского — (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
  • размерность кривой дракона — (разбивается на 2 части, коэффициент подобия ).

Свойства размерности Хаусдорфа[править | править вики-текст]

  • Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
  • Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Доказательство в Pertti Mattila, «Geometry of sets and measures in Euclidian Spaces», 1995 — теорема 4.7
  2. (Springer) Encyclopedia of Mathematics — отсылка к Mattila
  3. Доказательство в Kenneth Falconer, «Fractal Geometry» (второе издание), 2003 — стр. 31

Литература[править | править вики-текст]

  • Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7.