Размерность Лебега

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обычно обозначается .

Определение[править | править вики-текст]

Для метрических пространств[править | править вики-текст]

Для компактного метрического пространства размерность Лебега определяется как наименьшее целое число , обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие , имеющее кратность ;

При этом

  • -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а
  • кратностью конечного покрытия пространства называется наибольшее такое целое число , что существует точка пространства , содержащаяся в элементах данного покрытия.

Для топологических пространств[править | править вики-текст]

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства размерностью Лебега называется наименьшее целое число такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности .

При этом покрытие называется вписанным в покрытие , если каждый элемент покрытия является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия .

Примеры[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность -мерного куба равна . Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дал Урысон.

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973