Уравнение Коши — Эйлера |
Названо в честь |
Огюстен Луи Коши и Леонард Эйлер |
Первооткрыватель или изобретатель |
Леонард Эйлер |
Определяющая формула |
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{n}x^{n}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29277504b7116b66072dc09a7edc7d6b4d80d7a5) |
В математике (дифференциальных уравнениях) уравнение Коши — Эйлера (Эйлера — Коши) является частным случаем линейного дифференциального уравнения, приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, которое имеет простой алгоритм решения.
Общий вид уравнения :
.
Его частный случай :
.
Подстановка вида
то есть
приводит уравнение к виду линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Действительно, заметим, что
,
и
.
В соответствии с этим:
![{\displaystyle \ y(t)=y(t(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3f2beedff86f28b941a51241bcd4d24ab0f4b9)
откуда
![{\displaystyle \ y_{x}'(x)=y_{t}'(t)t_{x}'=y_{t}'(t)\alpha (\alpha x+\beta )^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67eaa66a3bf815fd92532b3e92438c90859f0aee)
таким образом
![{\displaystyle \ (\alpha x+\beta )y_{x}'(x)=\alpha y_{t}'(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd7d6755235938e59fb8dc8a46c5eb97a29975a)
Вычислим очередную
производную сложной функции
,
что приводит к
.
и далее
![{\displaystyle \ y_{xxx}'''(x)=(y_{xx}''(x))_{x}'=(y_{tt}''(t)(t_{x}')^{2}+y_{t}'(t)t_{xx}'')_{x}'=y_{ttt}'''(t)t_{x}'(t_{x}')^{2}+y_{tt}''(t)2t_{x}'t_{xx}''+y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01608a2afa737066fcc23f1aff30922d83a74fd)
![{\displaystyle \ =y_{ttt}'''(t)(t_{x}')^{3}+3y_{tt}''(t)t_{x}'t_{xx}''+y_{t}'(t)t_{xxx}'''=y_{ttt}'''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}-3y_{tt}''(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}+2y_{t}'(t)\alpha ^{3}(\alpha x+\beta )^{-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112d4ea9fe40b842499ccc3ca894d969a88cbb35)
что, аналогично, приводит к
![{\displaystyle \ (\alpha x+\beta )^{3}y_{xxx}'''(x)=\alpha ^{3}(y_{ttt}'''(t)-3y_{tt}''(t)+2y_{t}'(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87a7947bacde85f5fc1efa4e82151e0f94b041f)
Эта цепь вычислений может быть продолжена до любого порядка n
Дано неоднородное уравнение
.
Определив подстановку
,
приходим к уравнению
.
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
,
решение которого имеет вид
![{\displaystyle \ y(t)=c_{1}e^{-1t}+c_{2}e^{2t}+c_{3}+t-t^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5df7ae38d9c2b61e4df28a71c4fbaecb6dd7d3)
или в терминах ![{\displaystyle \ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9923068b5684340554217dfc8b2b968523527d9a)
![{\displaystyle \ y(x)=c_{1}(2x-1)^{-1}+c_{2}(2x-1)^{2}+c_{3}+ln(2x-1)-ln(2x-1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112ae52d61b46422ae364b69a46a19c28490f05b)
Общий вид уравнения :
.
Его частный случай :
.
Подстановкой
то есть ![{\displaystyle \ t=\ln(\alpha x+\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e027ff49599e5760d947d64cd2a26255c19ae19)
или, соответственно,
то есть ![{\displaystyle \ t=\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9e2466bea22e0b5805cd4b2773502d33c21f87)
приводится к виду
линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
.
или, соответственно,
.
Дано неоднородное уравнение
.
Определив подстановку
(
),
приходим к уравнению
.
После приведения имеем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
,
решение которого имеет вид
![{\displaystyle \ y(t)=c_{1}e^{+1t}+c_{2}e^{+2t}-6te^{+1t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7c523fc0aae00b6878c314b9fc907bf81176f9)
или в терминах ![{\displaystyle \ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9923068b5684340554217dfc8b2b968523527d9a)
![{\displaystyle \ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}-6x\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9612078043a99db6eb991ffae1de31b45de043da)
Рассмотрим однородное уравнения второго порядка вида:
.
Его решениями являются функции вида:
,
где
— корни характеристического уравнения
,
которое совпадает с характеристическим уравнением однородного уравнения с постоянными коэффициентами,
полученного из исходного уравнения путём описанной выше замены переменной. Если эти корни будут комплексными, то нужно воспользоваться формулой Эйлера и взять вещественную и мнимую части решения. Если же корни совпадут, то линейно независимыми решениями будут
и
Дано однородное уравнение
.
Характеристическое уравнение которого имеет вид
,
с решениями
,
.
Тогда общее решение однородного уравнения
![{\displaystyle \ y(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79cbc7272c1e922f8d60c26e7e555bcfa61077c8)