Уравнение Орнштейна — Цернике

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Орнштейна — Цернике — интегральное уравнение статистической механики для определения прямой корреляционной функции. Оно описывает, как может быть рассчитана корреляция между двумя молекулами, точнее корреляция плотности между двумя точками. Применение в основном обнаруживается в теории жидкости.

Уравнение названо в честь Леонарда Саломона Орнштейна и Фрица Цернике .

Вывод[править | править вики-текст]

Можно получить уравнение Орнштейна-Цернике из следующих эвристических соображений. Удобно ввести полную корреляционную функцию:

 h(r_{12})=g(r_{12})-1 \,

которая является мерой для «воздействия» молекулы 1 на молекулу 2, расположенную на расстоянии r_{12} от первой, в системе с радиальной функцией распределения g(r_{12}). В 1914 году Орнштейн и Цернике предложили разделить это влияние на два вклада: прямой и косвенный. Прямой вклад по определению задается прямой корреляционной функцией, сказывается c c(r_{12}). Косвенный вклад связан с влиянием молекулы 1 на третью молекулу 3, которая в свою очередь влияет на молекулу 2, непосредственно. Такой опосредованный эффект решается по плотности и усредняется по всем возможным положениях координаты молекулы 3. Это расписание можно записать так:

 h(r_{12})=c(r_{12}) + \rho \int d \mathbf{r}_{3} c(r_{13})h(r_{23})   \,

что и будет называться уравнением Орнштейна — Цернике.

Точный вывод уравнения требует графического анализа и функциональных методов статистической физики.

Применение[править | править вики-текст]

Чтобы разрешить уравнение Орштейна — Цернике, в него добавляют еще одно приближенное уравнение, которое связывает h(r) с c(r), полученное из модельных соображений. В результате получим одно интегральное или интегро-диференциалне уравнение, из которого можно найти h(r). Самые распространенные приближения: приближение Перкуса — Евика:

 c(r)=g(r)[e^{-\phi(r)/kT} - 1] e^{-\phi(r)/kT} \,

Гиперцепное приближение:

 c(r)=g(r) - 1 - \ln{g(r)} - \frac{\phi(r)}{kT},

В рамках теории Орштейна — Цернике можно, не вдаваясь в детальный вид функции c(r), а предположив лишь, что она является короткодействующей, описать асимптотику поведения h(r) при r \rightarrow \infty:

h(r) \rightarrow \frac {e^{-r/R_c}} {r}

с некоторым характерным параметром R_c (радиусом корреляции).

Ссылки[править | править вики-текст]