Интегральное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегра́льное уравне́ние — функциональное уравнение, содержащее интегральное преобразование над неизвестной функцией. Если интегральное уравнение содержит также производные от неизвестной функции, то говорят об интегро-дифференциальном уравнении.

Классификация интегральных уравнений[править | править вики-текст]

Линейные интегральные уравнения[править | править вики-текст]

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

где  — искомая функция, ,  — известные функции,  — параметр. Функция называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить еще на несколько видов.

Уравнения Фредгольма[править | править вики-текст]

Уравнения Фредгольма 2-го рода[править | править вики-текст]

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: , а ядро и свободный член должны быть непрерывными: , либо удовлетворять условиям:

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если на , то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Уравнения Фредгольма 1-го рода[править | править вики-текст]

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерры[править | править вики-текст]

Уравнения Вольтерры 2-го рода[править | править вики-текст]

Уравнения Вольтерры отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

Уравнения Вольтерры 1-го рода[править | править вики-текст]

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерры 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

В принципе, уравнения Вольтерры можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерры не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Нелинейные уравнения[править | править вики-текст]

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

Уравнения Урысона[править | править вики-текст]

Постоянная  — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

Уравнения Гаммерштейна[править | править вики-текст]

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

где  — фредгольмово ядро.

Уравнения Ляпунова — Лихтенштейна[править | править вики-текст]

Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

Нелинейное уравнение Вольтерры[править | править вики-текст]

где функция непрерывна по совокупности своих переменных.

Методы решения[править | править вики-текст]

Прежде, чем рассмотреть некоторые методы решения интегральных уравнений, следует заметить, что для них, как и для дифференциальных уравнений не всегда удается получить точное аналитическое решение. Выбор метода решения зависит от вида уравнения. Здесь будут рассмотрены несколько методов для решения линейных интегральных уравнений.

Преобразование Лапласа[править | править вики-текст]

Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:

то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:

Например, дано такое уравнение:

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:

Метод последовательных приближений[править | править вики-текст]

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:

Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:

который и является решением уравнения.  — -ая степень интегрального оператора :

Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых .

Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае, ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях , а не только при малых.

Метод резольвент[править | править вики-текст]

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:

то повторными ядрами ядра будут ядра :

Ряд, составленный из повторных ядер,

называется резольвентой ядра и является регулярно сходящимся при , и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:

Например, для интегрального уравнения

повторными будут следующие ядра:

а резольвентой — функция

Тогда решение уравнения находится по формуле:

Метод сведения к алгебраическому уравнению[править | править вики-текст]

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть , само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

где . Умножив предыдущее равенство на и проинтегрировав его по на отрезке , приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел :

где и  — числовые коэффициенты.

Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции .[1]

Замена интеграла конечной суммой[править | править вики-текст]

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: , где и имеют непрерывные производные нужного порядка, - заданное число. Используем квадратурную формулу: , где - точки на отрезке , а коэффициенты не зависят отвида функции . Рассмотрим исходное уравнение в точках : . Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: . Получаем линейную систему алгебраических уравнений с неизвестными , которые являются приближёнными значениями решения в точках . В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: [1].

Приложения[править | править вики-текст]

Термин «интегральное уравнение» ввёл в 1888 году П. Дюбуа-Реймон, однако первые задачи с интегральными уравнениями решались и ранее. Например, в 1811 году Фурье решил задачу об обращении интеграла, которая теперь носит его имя.

Формула обращения Фурье[править | править вики-текст]

Задача состоит в нахождении неизвестной функции по известной функции :

Фурье получил выражение для функции :

Сведение задачи Коши к интегральному уравнению[править | править вики-текст]

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерры приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по от до :

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим еще в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:

Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:

решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:

Тогда для исходного уравнения получается:

— интегральное уравнение Вольтерры 2-го рода.

Линейное дифференциальное уравнение -го порядка

также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерры 2-го рода.

Задача Абеля[править | править вики-текст]

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:

где  — заданная функция, а  — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения). Например, к уравнению такого вида приводит задача об определении потенциальной энергии по периоду колебаний[2]

У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:

Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав своё движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой , достигла оси за время , где  — заданная функция.

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью как и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1976. — С. 214.
  2. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика: учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика.. — 5-е изд. стереот.. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 42-43. — 224 с. — ISBN 5-9221-0055-6.

Литература[править | править вики-текст]

  • М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • И.Г. Петровский. Лекции об уравнениях с частными производными, 3-е изд.. — 1961.
  • Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. — 2-е изд, стереот.. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 160 с. — ISBN 5-9221-0275-3.