Корреляционная функция

Корреляционная функция — функция времени и пространственных координат, которая задает корреляцию (взаимосвязь) двух детерминированных функций или случайных процессов.

Определение

Корреляционная функция двух сигналов $f(t)$ и $g(t)$ определяется по формуле:

$B(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(t)\ g(t+\tau )\,dt.$

Корреляционная функция случайного процесса $X(t)$, характеризующая степень зависимости между значениями случайного процесса, взятыми в разные моменты времени, определяется как:

$B(t_{1},t_{2})=\mathbb {E} [(X(t_{1})-\mathbb {E} [X(t_{1})])(X(t_{2})-\mathbb {E} [X(t_{2})])]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(x_{1}-\mathbb {E} [X(t_{1})])(x_{2}-\mathbb {E} [X(t_{2})])f_{2}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})dx_{1}dx_{2}$,

где $\mathbb {E}$ — математическое ожидание, $f_{2}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})$ — двумерная плотность вероятности случайных величин $X(t_{1})$ и $X(t_{2})$. Эта функция также именуется автокорреляционной функцией.

Корреляционная функция двух случайных процессов $X(t)$ и $Y(t)$, характеризующая степень зависимости между значениями двух случайных процессов в два одинаковых или разных момента времени, определяется как:

$B_{XY}(t_{1},t_{2})=\mathbb {E} [(X(t_{1})-\mathbb {E} [X(t_{1})])(Y(t_{2})-\mathbb {E} [Y(t_{2})])]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mathbb {E} [X(t_{1})])(y-\mathbb {E} [Y(t_{2})])f_{2}(x,t_{1};y,t_{2})dxdy$,

где $f_{2}(x,t_{1};y,t_{2})$ — двумерная плотность вероятности случайных величин $X(t_{1})$ и $Y(t_{2})$. Эта функция также именуется взаимной корреляционной функцией, характеризующая степень зависимости между значениями случайного процесса, взятыми в разные моменты времени.

В некоторых источниках корреляционную функцию, определенную по вышеприведенной формуле, называют ковариационной функцией, а корреляционную функцию определяют по формуле:

$B(t_{1},t_{2})=\mathbb {E} [X(t_{1})X(t_{2})]=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}x_{2}f_{2}(x_{1},t_{1};x_{2},t_{2})dx_{1}dx_{2}$.

В этом случае ковариационная функция (обозначим $K(t_{1},t_{2})$) связана с корреляционной по формуле:

$K(t_{1},t_{2})=B(t_{1},t_{2})-\mathbb {E} [X(t_{1})]\mathbb {E} [X(t_{2})]$.

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

$C(t_{1},\mathbf {r_{1}} ,t_{2},\mathbf {r_{2}} )=\langle X(t_{1},\mathbf {r_{1}} )Y(t_{2},\mathbf {r_{2}} )\rangle$,

где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.

Корреляционная функция в статфизике

В статистической физике корреляционная функция описывает, как микроскопические переменные (например, скорости движения атомов) связаны в различных точках пространства в различные моменты времени. Наиболее общее определение имеет следующий вид:

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t+\tau \right)\right\rangle$

где $f_{1},f_{2}$ — функции, корреляции которых мы хотим изучить, угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю (например, по каноническому).

Пространственная корреляционная функция

Если мы интересуемся тем, скореллировано ли меняются микроскопические переменные в один и тот же момент времени в различных точках пространства, мы можем рассматривать функции $f_{1},f_{2}$ в один и тот же момент времени, тогда их корреляционная функция запишется в виде:

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} ,t\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} ,t\right)\right\rangle$

такая корреляционная функция называется пространственной.

Аналогично можно ввести одновременную корреляционную функцию для случая, когда функций $f_{1},f_{2}$ не две, а s штук:

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n}\right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {r} _{1},t\right)\dots f_{s}\left(\mathbf {r} _{n},t\right)\right\rangle$

Временная корреляционная функция

Иногда требуется рассмотреть временную эволюцию микроскопических переменных. Для этого используется временная корреляционная функция:

$G\left(\mathbf {R} ,t,\tau \right)=\left\langle f_{1}\left(\mathbf {R} ,t\right)f_{2}\left(\mathbf {R} ,t+\tau \right)\right\rangle$

При этом важно понимать, что несмотря на то, что в равновесии некоторые макроскопические переменные не зависят от времени, микроскопические переменные (такие, как, например, вектор скорости частицы) могут зависеть от времени и поэтому подобные корреляционные функции, являющиеся по сути макроскопическими величинами, тоже могут зависеть от времени.

Примеры

Одним из примеров корреляционных функций может служить радиальная функция распределения.

Магнетизм

Ещё одним классическим примером корреляционных функций может служить таковая в системе спинов, где она описывает их среднее по ансамблю скалярное произведение:

$G\left(\mathbf {r} ,\mathbf {R} \right)=\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle -\left\langle S\left(\mathbf {R} \right)\right\rangle \left\langle S\left(\mathbf {R} +\mathbf {r} \right)\right\rangle$ где S — спин частицы, скобки обозначают усреднение по ансамблю.

Даже в парамагнитной фазе спины скоррелированы, так как если расстояние между ними мало, то между спинами имеет место взаимодействие, которое и приводит к тому, что спины являются скоррелированными, однако их дальнейшему упорядочиванию препятствует тепловое движение. Поэтому оказывается, что корреляции между спинами экспоненциально уменьшаются с ростом расстояния между ними:

$G\left(\mathbf {r} \right)\approx {\frac {1}{\mathbf {r} ^{2-d+\eta }}}\exp \left({\frac {-\mathbf {r} }{\xi }}\right)$

где $\mathbf {r}$ — расстояние между спинами, d — размерность, $\eta$ — т. н. критический индекс. При снижении температуры тепловое движение ослабевает, и радиус корреляции $\xi$ стремится к бесконечности:

$\xi \sim \left|T-T_{c}\right|^{-\nu }$

где $\nu$ — другой критический индекс, $T_{c}$ — температура Кюри.

Как следствие данной формулы, в таких системах возникает фазовый переход 2-го рода.

Корреляционная функция плотности числа частиц порядка s

В частности, в качестве примера можно рассмотреть корреляционную функцию плотности числа частиц порядка s — это функция вида

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{s}\right)\right\rangle$

где величина

${\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$

называется микроскопической плотностью числа частиц в том смысле, что интегрируя её по некому объёму V, мы можем найти число частиц в нём:

$\int _{V}{\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} =N_{V}$

В случае s = 2 корреляционная функция плотности числа частиц называется парной.

Связная корреляционная функция плотности числа частиц

Также вводится понятие связной корреляционной функции плотности числа частиц: это такая корреляционная функция, которая стремится к 0, если частицы разделить на 2 группы $\left(\mathbf {r} _{i_{1}}\dots \mathbf {r} _{i_{l}}\right)$ и $\left(\mathbf {r} _{j_{1}}\dots \mathbf {r} _{j_{m}}\right),\ l+m=s$ после чего устремить разделяющее эти группы расстояние к бесконечности. Термин «связная» означает, что диаграммное разложение для такой корреляционной функции содержит только связные диаграммы.

Имеет место т. н. принцип ослабления корреляций: многочастичные функции распределения классической системы распадаются на произведения многочастичных функций распределения с меньшим числом аргументов при безграничном увеличении разностей соответствующих аргументов, из которого, в частности, следует:

$G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Следовательно, можно написать следующее выражение для двучастичной связной корреляционной функции плотности числа частиц:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=G^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)-G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)$

Аналогично вводятся связные корреляционные функции плотности более высокого порядка числа частиц:

$G^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)=G_{coh}^{\left(3\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)+G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{3}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{2}\right)+G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right)G^{\left(1\right)}\left(\mathbf {r} _{1}\right)$

Производящий функционал

Для корреляционных функций плотности числа частиц может быть построен производящий функционал:

$G\left(a\right)=\left\langle e^{\int a\left(\mathbf {r} \right){\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} \mathbf {r} }\right\rangle$

Тогда корреляционная функция плотности вводится как вариационная производная от производящего функционала:

$G^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r_{1}} ,\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\delta ^{s}G\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r_{s}} \right)}}\right|_{a=0}$

Аналогично может быть введена связная корреляционная функция:

$G_{coh}^{\left(s\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{s}\right)=\left.{\frac {\delta ^{s}W\left(a\right)}{\delta a\left(\mathbf {r} _{1}\right)\dots \delta a\left(\mathbf {r} _{s}\right)}}\right|_{a=0}$

где

$W\left(a\right)=\ln \left(G\left(a\right)\right)$

Физический смысл

Корреляционная функция является мерой упорядоченности системы. Она показывает, как микроскопические переменные коррелируют в различные моменты времени в различных точках в среднем.

Физический смысл корреляционной функции плотности числа частиц состоит в том, что она показывает плотность вероятности относительного расположения s частиц. Появление корреляций обусловлено наличием взаимодействия между частицами, за счет которого возникает ближний порядок.

Имеет место следующее соотношение:

$G_{coh}^{\left(2\right)}\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\right)=\left\langle \delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{1}\right)\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} _{2}\right)\right\rangle$

где $\delta {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)={\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)-\left\langle {\hat {n}}\left(\mathbf {r} \right)\right\rangle$ есть флуктуация плотности. Таким образом, связная корреляционная функция плотности числа частиц описывает флуктуации плотности вероятности относительного расположения частиц.

Помимо этого, корреляционные функции в самом общем виде могут использоваться для нахождения прочих флуктуаций, например, флуктуаций числа частиц и температуры.

Корреляционная функция в квантовой теории поля

Основная статья: Корреляционная функция (квантовая теория поля)

В квантовой теории поля вводится определение n-точечной корреляционной функции через произведение n хронологически упорядоченных полей: $C_{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):=\left\langle T\phi (x_{1})\phi (x_{2})\ldots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ]}\phi (x_{1})\ldots \phi (x_{n})}{\int {\mathcal {D}}\phi \;Te^{-S[\phi ]}}}$

где $T$ — оператор хронологического упорядочивания, $S$ — действие.

Корреляционную функцию также часто называют просто коррелятором.

Корреляционная функция в физике высоких энергий

В физике высоких энергий корреляционная функция есть мера корреляции между некоторыми наблюдаемыми величинами. При изучении адрон-адронных столкновений (например, протон-протонных или ядерно-ядерных) широко используется анализ корреляций между различными наблюдаемыми величинами, например, между поперечными импульсами или множественностями вторичных частиц, рождающихся в результате столкновения.

При изучении подобных процессов принято пользоваться такими переменными, как быстрота или псевдобыстрота. Обычно рассматриваются два интервала (называемых окнами) в пространстве быстрот, расположенных по разные стороны от места столкновения встречных пучков частиц в ускорителе, поэтому возникающие при этом корреляции между наблюдаемыми величинами, которые есть функции быстроты (или псевдобыстроты) часто называют «корреляциями вперед-назад».

Для определённости рассмотрим так называемые «корреляции множественность-множественность» где множественность есть функция, задающая число частиц, имеющих быстроту, принадлежащую некоторому заданному интервалу. В таком случае корреляционная функция вводится как зависимость средней множественности в одном (обычно — правом) быстротном интервале от множественности в другом интервале. В случае линейной корреляционной функции имеем для неё следующее выражение:

${\langle n_{f}\rangle }_{\langle n_{b}\rangle }=a+b\cdot n_{b}$

Данное предположение вполне согласуется с экспериментальными данными, полученными на различных ускорителях элементарных частиц, в том числе SPS и Fermilab.Величина b из формулы выше носит название коэффициента дальних корреляций. Как следствие формулы выше, можно получить следующую формулу для коэффициента корреляций:

$b={\frac {\left\langle n_{b}n_{f}\right\rangle -\left\langle n_{f}\right\rangle \left\langle n_{b}\right\rangle }{D_{n_{f}}}}$

Найденный таким образом коэффициент корреляций позволяет изучать физику явлений, происходящих при столкновениях адронов. В частности, отличие коэффициента корреляции от нуля может означать, что изучаемые величины (в данном случае — множественности в переднем и заднем окне) каким-то образом связаны, но при этом возникающие зависимости не обязательно имеют причинно-следственные связи.

Оценка корреляционных функций и её особенности

Для эргодических случайных процессов (то есть для которых статистические свойства, усредненные по времени, эквивалентны статистическим свойствам, усредненным по значениям) корреляционную функцию можно определить экспериментально путём наблюдения за одной реализацией $x(t)$ в течение длительного времени $T$ и с расчётом по следующей формуле: $B(\tau )={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}x(t)x(t+\tau )dt$.

Литература

• Хилл Т. Статистическая механика, М., 1960.
• Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика, М.: Наука, 1981.
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993.
• Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е.. Методы квантовой теории поля в статистической физике., М., Физматгиз, 1962.
• Прохоров А. М. Физическая энциклопедия. Том. 2, 1990. — С. 465—467.
• Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики, М: Наука, 1977.

См. также

• Корреляция
• Автокорреляционная функция
• Ковариация