Корреляционная функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск


Корреляционная функция — функция времени и пространственных координат, которая задает корреляцию в системах со случайными процессами.

Определение[править | править код]

Зависящая от времени корреляция двух случайных функций и определяется как:

где угловые скобки обозначают процедуру усреднения.

Если корреляционная функция вычисляется для одного и того же процесса, она называется автокорреляционной:

.

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для процессов, происходящих в разных точках пространства в различные моменты времени:

.

Корреляционные функции широко используются в статистической физике и других дисциплинах, изучающих случайные (стохастические) процессы.

Корреляционная функция в статфизике[править | править код]

В статистической физике корреляционная функция описывает, как микроскопические переменные (например, скорости движения атомов) связаны в различных точках пространства в различные моменты времени. Наиболее общее определение имеет следующий вид:

где  — функции, корреляции которых мы хотим изучить, угловые скобки означают усреднение по статистическому ансамблю (например, по каноническому).

Одновременные корреляционные функции[править | править код]

Если мы интересуемся тем, скореллировано ли меняются микроскопические переменные в один и тот же момент времени в различных точках пространства, мы можем рассматривать функции в один и тот же момент времени, тогда их корреляционная функция запишется в виде:

такая корреляционная функция называется одновременной.

Аналогично можно ввести одновременную корреляционную функцию для случая, когда функций не две, а s штук:

Пространственные корреляционные функции[править | править код]

Иногда требуется рассмотреть временную эволюцию микроскопических переменных. Для этого используется пространственная корреляционная функция:

При этом важно понимать, что несмотря на то, что в равновесии некоторые макроскопические переменные не зависят от времени, микроскопические переменные (такие, как, например, вектор скорости частицы) могут зависеть от времени и поэтому подобные корреляционные функции, являющиеся по сути макроскопическими величинами, тоже могут зависеть от времени.

Примеры[править | править код]

Одним из примеров корреляционных функций может служить радиальная функция распределения.

Магнетизм[править | править код]

Еще одним классическим примером корреляционных функций может служить таковая в системе спинов, где она описывает их среднее по ансамблю скалярное произведение:

где S — спин частицы, скобки обозначают усреднение по ансамблю.

Даже в парамагнитной фазе спины скоррелированы, так как если расстояние между ними мало, то между спинами имеет место взаимодействие, которое и приводит к тому, что спины являются скоррелированными, однако их дальнейшему упорядочиванию препятствует тепловое движение. Поэтому оказывается, что корреляции между спинами экспоненциально уменьшаются с ростом расстояния между ними:

где  — расстояние между спинами, d — размерность,  — т. н. критический индекс. При снижении температуры тепловое движение ослабевает, и радиус корреляции cтремится к бесконечности:

где  — другой критический индекс,  — температура Кюри.

Как следствие данной формулы, в таких системах возникает фазовый переход 2-го рода.

Корреляционная функция плотности числа частиц порядка s[править | править код]

В частности, в качестве примера можно рассмотреть корреляционную функцию плотности числа частиц порядка s - это функция вида

где величина

называется микроскопической плотностью числа частиц в том смысле, что интегрируя ее по некому объему V, мы можем найти число частиц в нем:

В случае s = 2 корреляционная функция плотности числа частиц называется парной.

Связная корреляционная функция плотности числа частиц[править | править код]

Также вводится понятие связной корреляционной функции плотности числа частиц: это такая корреляционная функция, которая стремится к 0, если частицы разделить на 2 группы и после чего устремить разделяющее эти группы расстояние к бесконечности. Термин «связная» означает, что диаграммное разложение для такой корреляционной функции содержит только связные диаграммы.

Имеет место т. н. принцип ослабления корреляций: многочастичные функции распределения классической системы распадаются на произведения многочастичных функций распределения с меньшим числом аргументов при безграничном увеличении разностей соответствующих аргументов[1], из которого, в частности, следует:

Следовательно, можно написать следующее выражение для двучастичной связной корреляционной функции плотности числа частиц:

Аналогично вводятся связные корреляционные функции плотности более высокого порядка числа частиц:

Производящий функционал[править | править код]

Для корреляционных функций плотности числа частиц может быть построен производящий функционал:

Тогда корреляционная функция плотности вводится как вариационная производная от производящего функционала:

Аналогично может быть введена связная корреляционная функция:

где

Физический смысл[править | править код]

Корреляционная функция является мерой упорядоченности системы. Она показывает, как микроскопические переменные коррелируют в различные моменты времени в различных точках в среднем.

Физический смысл корреляционной функции плотности числа частиц состоит в том, что она показывает плотность вероятности относительного расположения s частиц. Появление корреляций обусловлено наличием взаимодействия между частицами, за счет которого возникает ближний порядок.

Важно отметить, что имеет место следующее соотношение:

где есть флуктуация плотности. Таким образом, связная корреляционная функция плотности числа частиц описывает флуктуации плотности вероятности относительного расположения частиц.

Помимо этого, корреляционные функции в самом общем виде могут использоваться для нахождения прочих флуктуаций, например, флуктуаций числа частиц и температуры.

Корреляционная функция в квантовой теории поля[править | править код]

В квантовой теории поля вводится определение n-точечной корреляционной функции через произведение n хронологически упорядоченных полей:

где  — Оператор хронологического упорядочивания,  — лагранжиан.


Корреляционную функцию также часто называют просто коррелятором.

Корреляционная функция в физике высоких энергий[править | править код]

В физике высоких энергий корреляционная функция есть мера корреляции между некоторыми наблюдаемыми величинами. При изучении адрон-адронных столкновений (например, протон-протонных или ядерно-ядерных) широко используется анализ корреляций между различными наблюдаемыми величинами, например, между поперечными импульсами или множественностями вторичных частиц, рождающихся в результате столкновения.

При изучении подобных процессов принято пользоваться такими переменными, как быстрота или псевдобыстрота. Обычно рассматриваются два интервала (называемых окнами) в пространстве быстрот, расположенных по разные стороны от места столкновения встречных пучков частиц в ускорителе, поэтому возникающие при этом корреляции между наблюдаемыми величинами, которые есть функции быстроты (или псевдобыстроты) часто называют «корреляциями вперед-назад».

Для определенности рассмотрим так называемые «корреляции множественность-множественность» где множественность есть функция, задающая число частиц, имеющих быстроту, принадлежащую некоторому заданному интервалу. В таком случае корреляционная функция вводится как зависимость средней множественности в одном (обычно — правом) быстротном интервале от множественности в другом интервале. В случае линейной корреляционной функции имеем для нее следующее выражение:

Данное предположение вполне согласуется с экспериментальными данными, полученными на различных ускорителях элементарных частиц, в том числе SPS и Fermilab.Величина b из формулы выше носит название коэффициента дальних корреляций. Как следствие формулы выше, можно получить следующую формулу для коэффициента корреляций:

Найденный таким образом коэффициент корреляций позволяет изучать физику явлений, происходящих при столкновениях адронов. В частности, отличие коэффициента корреляции от нуля может означать, что изучаемые величины (в данном случае — множественности в переднем и заднем окне) каким-то образом связаны, но важно понимать, что при этом возникающие зависимости не обязательно имеют причинно-следственные связи.

Литература[править | править код]

  • Хилл. Т. Статистическая механика, М., 1960
  • Куни Ф. М. Статистическая физика и термодинамика, М.:Наука, 1981
  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993
  • А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. Методы квантовой теории поля в статистической физике., М.,Физматгиз, 1962
  • Физическая энциклопедия (ред. Прохорова)
  • Ахиезер А. И., Пелетминский С. В., Методы статистической физики, М:Наука, 1977

См. также[править | править код]

Автокорреляционная функция

Ковариация

Статистическая физика

Термодинамика

Квантовая теория поля

Большой адронный коллайдер

Примечания[править | править код]

  1. Ахиезер А. И., Пелетминский С. В., Методы статистической физики, М:Наука, 1977 — стр.111