Формула Кирхгофа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Формула Д’Аламбера»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Фо́рмула Кирхго́фа — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Полная формулировка задачи и ответа[править | править код]

Рассмотрим уравнение

, где функции и определены на , а  — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью в моменты времени .

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени :

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

где поверхностные интегралы берутся по сфере .

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствия[править | править код]

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени на некотором компакте M есть локальное возмущение ( и/или ). Если мы находимся в некоторой точке , то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время .

Вне отрезка времени , где , функция u(x 0t) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в , уже не будет компактным в , а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).[1]

Формула ПуассонаПарсеваля[править | править код]

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

(функция соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

задаётся формулой:

.

Формула Д'Аламбера[править | править код]

Решение одномерного волнового уравнения

(функция соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

имеет вид[2]

В область II приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области . Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: , то есть оно определяется двумя семействами характеристик: . Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д’Аламбера не работает.

Применение формул[править | править код]

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения с начальными условиями и искать решение в виде суммы трех функций: , которые удовлетворяют следующим условиям:

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путём замены переменных. Например, пусть . Тогда после замены уравнение для задачи «С» примет вид:

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области .

Примечания[править | править код]

  1. КИРХГОФА ФОРМУЛА // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (тт. 1—2); Большая Российская энциклопедия (тт. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.
  2. Формула Д’Аламбера в Физической энциклопедии

Литература[править | править код]

  • Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. — М.: МФТИ, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6.

Ссылки[править | править код]