Формула Сильвестра
Формула Сильвестра, матричная теорема Сильвестера (названа именем Дж. Дж. Сильвестера) или интерполяция Лагранжа — Сильвестера выражает аналитическую функцию матрицы A как многочлен от A в терминах собственных значений и векторов матрицы A[1][2]. Теорема гласит, что[3]:
- ,
где — собственные значения матрицы A, а матрицы
являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы A, которые являются матрицами (проекции) многочленов Лагранжа матрицы A.
Условия
[править | править код]Формула Сильвестра применима для любой диагонализируемой матрицы A с k различными собственными значениями и любой функции f, определённой на некотором подмножестве комплексных чисел, такой что вполне определена. Последнее условие означает, что любое собственное значение находится в области определения f , причём если его кратность , то оно находится внутри области определения, а сама функция f дифференцируема () раз в точке [4].
Пример
[править | править код]Рассмотрим матрицу порядка 2:
- .
Эта матрица имеет два собственных значения, 5 и −2. Её коварианты Фробениуса есть:
- .
Формула Сильвестра тогда сводится к:
- .
Например, если f определяется выражением , то формула Сильвестра выражает обратную матрицу как:
- .
Обобщение
[править | править код]Формула Сильвестра верна только для диагонализируемых матриц. Расширение, принадлежащее Артуру Буххайму[англ.] и основанное на многочленах эрмитовой интерполяции, покрывает общий случай[5]
- ,
где .
Краткую форму позже предложил Ганс Швердтфегер:[6]
- ,
где являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы A.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Horn, Johnson, 1991.
- ↑ Claerbout, 1976.
- ↑ Sylvester, 1883, с. 267–269.
- ↑ Horn, Johnson, 1991, с. Def.6.4.
- ↑ Buchheim, 1884, с. 63–82.
- ↑ Schwerdtfeger, 1938.
Литература
[править | править код]- Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1991. — ISBN 978-0-521-46713-1.
- Jon F. Claerbout. Sylvester's matrix theorem // Fundamentals of Geophysical Data Processing. — 1976.
- Sylvester J.J. XXXIX. On the equation to the secular inequalities in the planetary theory // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1883. — Т. 16, вып. 100. — ISSN 1941-5982. — doi:10.1080/14786448308627430.
- Arthur Buchheim. On the Theory of Matrices // Proceedings of the London Mathematical Society. — 1884. — Т. s1-16, вып. 1. — ISSN 0024-6115. — doi:10.1112/plms/s1-16.1.63.
- Hans Schwerdtfeger. Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes. I, Volume 1. — Hermann, 1938.
- F.R. Gantmacher. The Theory of Matrices. — NY: Chelsea Publishing, 1960. — Т. I. — С. 101-103. — ISBN 0-8218-1376-5.
- Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: «Наука», 1968.
- Nicholas J. Higham. Functions of matrices: theory and computation. — Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2008. — ISBN 9780898717778.
- Merzbacher E. Matrix methods in quantum mechanics // Am. J. Phys.. — 1968. — Т. 36, вып. 9. — С. 814–821. — doi:10.1119/1.1975154. — .
Для улучшения этой статьи желательно:
|