Формула коплощади

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула коплощади — интегральная формула, связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения .

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция, заданная на открытой области . Также она верна для липшицевых и соболевских функций[1].

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть есть область в и — Липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

где обозначает внешнее произведение копий дифференциала , а  — -мерная хаусдорфова мера.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Для вещественнозначной функции , формула коплощади имеет вид

где  — градиент .

Литература[править | править вики-текст]

  1. Federer, H (1959), "Curvature measures", Transactions of the American Mathematical Society (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 93, No. 3) . — Т. 93 (3): 418–491, DOI 10.2307/1993504 .