Функция Буземана
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Функция Буземана — определённый тип функций на метрическом пространстве. Грубо говоря, функцию Буземана можно рассматривать как «расстояние до бесконечно удалённой точки».
История[править | править код]
Эти функции введены Буземаном при изучении глобальных свойств метрических пространств[1]. Позже, они были использованы в теории вероятностей для исследования асимптотических перколяций[2].
Определение[править | править код]
Пусть — метрическое пространство. Назовём лучом кривую , которая минимизирует расстояние везде вдоль своей длины, то есть для всех в естественной параметризации выполняется
- .
Функция Буземана для луча γ, , определяется как предел
Замечания[править | править код]
- Из неравенства треугольника следует, что
- для любого . В то же время функция
- невозрастающая. Поэтому функция Буземана всегда определена для любого луча .
- При больших и фиксированном
Свойства[править | править код]
- В пространстве Лобачевского, линии уровня функций Буземана образуют орисферы.