Характер представления группы

Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представлении.

Обычно обозначаются буквой $\chi$.

Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.

Определение

Если $f$ — конечномерное представление группы $G$, то характер этого представления — это функция из $G$ во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу $G$. Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.

Свойства

• Характеры эквивалентных представлений совпадают.
• Изоморфные представления имеют одинаковые характеры.
• Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций.
• Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единице.
• Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаются.
• Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентны.
• Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицы.
• У взаимно-сопряжённых элементов группы $a$ и $b^{-1}ab$ характеры равны.
• Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементов.
• Для любого элемента группы $a\in G$ $\chi (a^{-1})={\overline {\chi (a)}}$.
• Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен $1$.

Литература

• Любарский Г. Я. Теория групп и её применение в физике. — М.: Наука, 1958. — 354 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 200 с.
• Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1975. — 407 с.