Элементарные функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций[1]:

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции по Лиувиллю[править | править вики-текст]

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция переменной  — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция причём:

  • является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции
  • является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции

...

  • является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции

Например,  — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией от показательной функции

Вообще, с помощью указанного тождества все тригонометрические и обратные тригонометрические функции можно выразить через логарифмы, экспоненты, арифметические действия, а также операцию взятия квадратного корня. Разумеется, при этом будет использована мнимая единица

Функция тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:

где

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимыми. Это означает, что алгебраическое соотношение может выполняться для всех , только если коэффициенты полинома равны нулю.

Дифференцирование элементарных функций[править | править вики-текст]

Производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

где равно или или в зависимости от того, логарифм ли или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных.

Интегрирование элементарных функций[править | править вики-текст]

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов. В общем случае проблема интегрирования элементарных функций решается алгоритмом Риша, основанном на теореме Лиувилля:

Теорема Лиувилля. Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде

где  — некоторые комплексные числа, а  — алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от берётся в элементарных функциях, то верно

где  — алгебраическая функция,  — логарифм или экспонента алгебраической функции и т. д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

где  — алгебраические функции своих аргументов. Если  — семейство решений этой системы, то

откуда

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

Интегрирование функций вида [править | править вики-текст]

Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл

где  — полиномы, берётся в элементарных функциях, то

,

где  — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению

Пример. В частности, интеграл

не берётся, поскольку подстановка

в уравнение

даёт . Интеграл же

берётся, поскольку

имеет решение . При этом, конечно,

Доказательство следствия. В силу теоремы Лиувилля

Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе верно

Дифференцируя по и полагая , видим, что интеграл выражается алгебраически через , то есть

Опять применяя принцип Лиувилля, имеем

Дифференцируя по и полагая , имеем

при , а следовательно, в силу алгебраической независимости , при всех . Поэтому

где  — некоторая алгебраическая функция . Таким образом,

Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функцией , то  — полином. Следствие доказано.

Интегрирование алгебраических функций[править | править вики-текст]

Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов, которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса, Пташицкого[2] и Риша[3].

Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple.

См. также: Список интегралов элементарных функций

Вычисление пределов[править | править вики-текст]

Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов. Неизвестно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности даёт ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность .[4]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Элементарная математика, 1976, с. 113—114..
  2. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Art. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901 г.)
  3. Дэвенпорт Дж. Интегрирование алгебраических функций. Гл. 4. М., «Мир», 1985
  4. Q&A

Литература[править | править вики-текст]