Эллипсоид вращения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Сфера — нормальный сфероид
Вытянутый сфероид
Сплюснутый сфероид

Эллипсо́ид враще́ния (сферо́ид) — это поверхность вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Термин «сфероид» для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввёл Архимед: «... мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).» [1]

Эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину ():

В частном случае, когда все три полуоси равны, исходный эллипс представляет собой окружность, а эллипсоид вращения вырождается в сферу.

Вытянутый эллипсоид вращения[править | править вики-текст]

Вытянутый эллипсоид вращения (вытянутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов эллипсоида, после отражения соберутся в другом фокусе.

Сплюснутый эллипсоид вращения[править | править вики-текст]

Сплюснутый эллипсоид вращения (сплюснутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна.

Основные формулы[править | править вики-текст]

  • Площадь поверхности:
, (для сплюснутого, a > b)
, (для вытянутого, a < b)
  • Объём:

Здесь - угловой эксцентриситет:

, (сплюснутый)
, (вытянутый)
(sin(oε) часто выражается как эксцентриситет, "e")

Примеры[править | править вики-текст]

Форма Земли — в хорошем приближении представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения с .

Применение[править | править вики-текст]

Оптическая схема телескопа Грегори. Малое зеркало имеет форму вытянутого эллипсоида вращения
Радиотелескоп РТ-70, исполненный по системе антенны Грегори

Свойство вытянутого эллипсоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Грегори и в антеннах Грегори.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. L. Russo. The forgotten revolution. — Springer, Berlin, 2004. — P. 180.