Эллипс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эллипс, его фокусы и главные оси
Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью шаров Данделена.

Э́ллипс (др.-греч. ἔλλειψις — опущение, недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение плоскости и кругового цилиндра или как ортогональная проекция окружности на плоскость.

Окружность является частным случаем эллипса. Наряду с гиперболой и параболой, эллипс является коническим сечением и квадрикой.

Определение[править | править вики-текст]

Эллипсгеометрическое место точек M евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причём

Комментарии[править | править вики-текст]

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния и от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние называется фокальным расстоянием.
  • Величина называется эксцентриситетом.
  • Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
  • Радиус эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле , где  — угол между радиусом и большой полуосью.
  • Фокальным параметром называется половина длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Величина, равная называется сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением
  • Для каждого из фокусов существует прямая, называемая директрисой, такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как для фокусов соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно

Соотношения между элементами эллипса[править | править вики-текст]

Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)
  •  — большая полуось;
  •  — малая полуось;
  •  — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
  •  — фокальный параметр;
  •  — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
  •  — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

.













 — большая полуось
 — малая полуось
 — фокальное расстояние
 — фокальный параметр
 — перифокусное расстояние
 — апофокусное расстояние

Координатное представление[править | править вики-текст]

Эллипс как кривая второго порядка[править | править вики-текст]

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах и где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и ):


Каноническое уравнение[править | править вики-текст]

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением:

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. [1]


Уравнения в параметрической форме[править | править вики-текст]

Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

где  — параметр.

Только в случае окружности (то есть при ) параметр является углом между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором данной точки.

В полярных координатах[править | править вики-текст]

Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

где e — эксцентриситет, а p — фокальный параметр. Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс - в правый.


Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах будет иметь вид

Длина дуги эллипса[править | править вики-текст]

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

После замены выражение для длины дуги принимает окончательный вид:

Получившийся интеграл принадлежит семейству эллиптических интегралов, которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к эллиптическому интегралу второго рода . В частности, периметр эллипса равен:

,

где  — полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближённые формулы для периметра[править | править вики-текст]

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

, где

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при обеспечивает формула Рамануджана:

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Точная формула для периметра[править | править вики-текст]

где Арифметико-геометрическое среднее 1 и , а модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и , которое было введено Адлаем в статье 2012 года.[2]

Площадь эллипса и его сегмента[править | править вики-текст]

Площадь эллипса вычисляется по формуле

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и хордой, проходящей через точки и

[источник не указан 1505 дней]

Если эллипс задан уравнением , то площадь можно определить по формуле

.

Построение эллипса[править | править вики-текст]

Эллипсограф в действии
Построение с помощью иголок, нитки и карандаша.

Основная статья — статья «Построение эллипса» в Викиучебнике.

Инструментами для рисования эллипса являются:

  • эллипсограф;
  • две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной 2a, которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

Эллипсы, связанные с треугольником[править | править вики-текст]

Другие свойства[править | править вики-текст]

  • Оптические
    • Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
    • Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
  • Если и — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой равен углу между этой касательной и прямой .
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида, вытянутая вдоль вертикальной оси.
  • Точки пересечения эллипса с осями являются его вершинами.
  • Эксцентриситет эллипса, то есть отношение характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
    • Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: ), то эллипс вырождается в окружность.
  • Экстремальные свойства[3]
    • Если выпуклая фигура и вписанный в -угольник максимальной площади то
где обозначает площадь фигуры .
  • Более того, в равенство достигается в том и только в том случае если ограничено эллипсом.
  • Среди всех выпуклых замкнутых кривых ограничивающих данную площадь эллипс имеет максимальную аффинную длину.
  • Если произвольный эллипс, вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение[4]
  • Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше[⇦] эллипсографе.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:
    описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.
  2. Adlaj, Semjon (September 2012), "An eloquent formula for the perimeter of an ellipse", Notices of the AMS Т. 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477, doi:10.1090/noti879, <http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf> 
  3. Фейеш Тот Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве//М., Физматгиз, 1958. 364 с.; глава II, §4,6
  4. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161–165.

Литература[править | править вики-текст]