Кошмар Фубини

Кошмар Фубини (англ. Fubini Nightmare) — название эффекта кажущегося нарушения теоремы Фубини в не-абсолютно непрерывных слоениях с гладкими слоями. Он состоит в том, что множество в расслоенном пространстве, пересекающее все слои по множеству меры ноль (или даже вообще по отдельным точкам), может, тем не менее, иметь положительную (и даже полную!) меру в объемлющем пространстве. Такой эффект, на самом деле, теореме Фубини не противоречит, поскольку выпрямляющее отображение слоения не является абсолютно непрерывным.

Существование «кошмара Фубини» затрудняет проведение доказательств для частично-гиперболических динамических систем «послойно» по слоям центрального слоения: это слоение обычно лишь гёльдерово, но не абсолютно непрерывно.

Иллюстративная версия кошмара Фубини была придумана А. Катком и опубликована Дж. Милнором в работе «Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory», а в 2000 году динамическая реализация такого примера была построена для случая центрального слоения в работе Э. Вилкинсон и М. Шуба «Pathological foliations and removable zero exponents».

Конструкция Катка

Слоение

Для любого p, 0<p<1, можно рассмотреть кодирование точек отрезка [0,1] последовательностями нулей и единиц, с делением очередного отрезка в отношении $(1-p):p$. (Как и при обычном кодировании, при этом будет иметь место отождествление 0 с хвостом из единиц и 1 с хвостом из нулей.)

Точка, кодирующаяся данной последовательностью $(a_{1},a_{2},...)\in \{0,1\}^{\mathbb {N} },$, может быть несложно задана явно: отрезок, полученный после первых n делений, имеет длину $l_{n}=p^{\#\{j\leq n:a_{j}=1\}}(1-p)^{\#\{j\leq n:a_{j}=0\}},$ поэтому соответствующая точка равна $F_{p}(a_{1},a_{2},\dots )=\sum _{n:a_{n}=1}a_{n}(1-p)l_{n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}p^{\#\{j\leq n-1:\,a_{j}=1\}}(1-p)^{1+\,\#\{j\leq n-1:\,a_{j}=0\}}.$

Слоение Катка

Для фиксированной последовательности $a\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }$ отображение $p\mapsto F_{p}(a)$ аналитично. (Проще всего это следует из теоремы Вейерштрасса и того факта, что задающий его ряд сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов $\{|p|<1\}\cap \{|1-p|<1\}\subset \mathbb {C}$.)

Поэтому разбиение квадрата $(0,1)\times [0,1]$ на графики по переменной p отображений $F_{p}(a)$ — кривые $\gamma _{a}=\{(p,F_{p}(a))\mid p\in (0,1)\}$, с параметром a, пробегающим $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$, — слоение на аналитические кривые.

Множество

При любом фиксированном p, цифры $a_{1}=\xi _{1}(x;p),a_{2}=\xi _{2}(x;p)$, … кодирования случайной (выбираемой в соответствии с мерой Лебега) точки $x\in [0,1]$ — независимые бернуллевские случайные величины, принимающие значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1-p.

В силу закона больших чисел, при любом p для почти всех x выполнено

${\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}(x;p)\to p,\quad n\to \infty .$

Из теоремы Фубини тогда вытекает, что множество

$M:=\left\{(p,x)\mid {\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}a_{j}(x;p){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}p.\right\}$

имеет полную меру Лебега в квадрате $(0,1)\times [0,1]$.

Однако для любой фиксированной последовательности $(a_{i})$ предел её чезаровских средних, если он существует, единственен. Поэтому любая кривая $\gamma _{a}$ либо вообще не пересекает множество M (если предела нет), либо пересекает в единственной точке (p,F_p(a)), где

$p=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}.$

Таким образом, для построенных слоения и множества M имеет место «кошмар Фубини».

Конструкция Вилкинсон — Шуба

Вилкинсон и Шуб рассматривали диффеоморфизмы, являющиеся малыми возмущениями диффеоморфизма $A\times id$ трёхмерного тора $T^{3}=T^{2}\times S^{1}$, где $A=\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right):T^{2}\to T^{2}$ — диффеоморфизм Аносова. Это отображение, а, значит, и близкие к нему частично гиперболичны. Более того, центральные слои возмущённых отображений будут являться гладкими окружностями, близкими к исходным.

Возмущение Вилкинсон — Шуба, которое берётся в классе сохраняющих меру Лебега отображений, делало диффеоморфизм эргодичным, но при этом центральный показатель Ляпунова становился ненулевым. С точностью до обращения, его можно считать положительным. Тогда множество точек, центральный показатель Ляпунова для которых положителен, имеет в $T^{3}$ полную меру Лебега.

С другой стороны, центральные слои-окружности имеют ограниченную сверху длину, поэтому на каждой из них множество точек, в которых происходит растяжение в центральном направлении, обязано иметь меру ноль. Более тонкие рассуждения показывают, что, более того, это множество обязано состоять из конечного числа точек, то есть имеет место «кошмар Фубини».

Литература

• J. Milnor, Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory. Math. Intelligencer 19 (1997), no. 2, 30—32.
• M. Shub, A. Wilkinson, Pathological foliations and removable zero exponents, Invent. math. 139 (2000), 495—508.