Абсолютная непрерывность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Абсолютная непрерывность — в математическом анализе, свойство функций и мер, состоящее, неформально говоря, в выполнении теоремы Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Обычно эта теорема формулируется в терминах интеграла Римана и включает в свои условия интегрируемость производной по Риману. При переходе к более общему интегралу Лебега, естественное требование существования измеримой производной почти всюду становится слишком слабым, и для выполнения соотношения, аналогичного теореме Ньютона — Лейбница, необходимо более тонкое условие, которое и называется абсолютной непрерывностью. Это понятие переносится на меры с помощью производной Радона — Никодима.

Абсолютно непрерывные функции[править | править вики-текст]

Функция называется абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией на конечном или бесконечном отрезке, если , такое, что для любого конечного набора непересекающихся интервалов области определения функции , который удовлетворяет условию , выполнено .

Абсолютно непрерывная на отрезке функция является равномерно непрерывной, и, следовательно, непрерывной. Обратное неверно.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины ограниченную вариацию.
  • Абсолютно непрерывные функции образуют векторное пространство. Более того, они образуют замкнутое подпространство в пространстве функций ограниченной вариации.
  • Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
  • Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
  • Пусть абсолютно непрерывная функция на . Тогда она почти всюду дифференцируема; обобщённая производная интегрируема по Лебегу и для всех выполняется равенство
.
  • Обратно, функция, имеющая на интервале интегрируемую по Лебегу обобщённую производную, является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества лебеговой меры ноль.
  • Если функция абсолютно непрерывна на отрезке и абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения , то для того, чтобы суперпозиция была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией (теорема Фихтенгольца).
  • Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина.

Примеры[править | править вики-текст]

Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:

на конечных интервалах, содержащих 0;
  • функция на неограниченных интервалах.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]