Диффеоморфизм Аносова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории динамических систем, области математики, диффеоморфизмы Аносова — введённый Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.

Определение[править | править вики-текст]

Диффеоморфизм  — диффеоморфизм Аносова, если он гиперболичен на всём многообразии M. А именно: существует разложение касательного расслоения TM в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений, Eu и Es, инвариантных относительно динамики, причём на Eu динамика экспоненциально растягивает, а на Es экспоненциально сжимает:

где и  — константы.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма f существует его окрестность в пространстве C1-диффеоморфизмов, любой диффеоморфизм g из которой сопряжен f некоторым гомеоморфизмом h:
Иными словами, динамика малого возмущения f отличается от самого f только заменой координат (правда, лишь непрерывной!).
  • Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:

Примеры[править | править вики-текст]

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения на двумерном торе .

Более обще, если матрица не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор (корректно определённый, поскольку A сохраняет ) будет диффеоморфизмом Аносова.

Литература[править | править вики-текст]

  • Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.