Это старая версия этой страницы, сохранённая Roundabout(обсуждение | вклад) в 21:26, 29 декабря 2019(убрал битую ссылку). Она может серьёзно отличаться от текущей версии.
Лемма Адамара (англ.Hadamard's lemma, фр.Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара[1].
Пусть — функция класса , где , определённая в выпуклой окрестности точки . Тогда существуют такие функции класса , определённые в , что для всех имеет место равенство[1]
Если функция — аналитическая, то и функции в приведенной выше формуле аналитические.
Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров:
Пусть — функция класса , где , определённая в выпуклой окрестности точки , при этом и .
Тогда существуют такие функции класса , определённые в , что для всех
имеет место равенство
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию , где — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть пробегает значения из отрезка , тогда функция , рассматриваемая как функция при каждом фиксированном значении параметра , пробегает в пространстве функций от переменных некоторую кривую с концами и .
Рассматривая как функцию переменной , зависящую от параметров и , и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:
где
Требуемая гладкость функций следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.
Применения
Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей.
С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции обращается в нуль на гиперплоскости, то он представим в виде где — некоторая гладкая функция.
Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции имеет место представление где и — гладкие функции.
Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:
где и — гладкие функции и — произвольное натуральное число.