Плоскость Немыцкого

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным. Обозначается, как правило, $L$.

Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.

Построение

Строится как подпространство плоскости с точками $(x;y)$, где $y\geqslant 0$ с изменением топологии в точках $(x;0)$: база окрестностей таких точек — открытые круги $B((x,\epsilon ),\epsilon )$ и сама точка $(x;0)$, где $B(p,r)$ — круг радиуса $r$ с центром в точке $p$.

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки: $L$ — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).

Свойства

Плоскость Немыцкого является связным, сепарабельным ($d(L)=\omega$) и нелинделёфовым ($l(L)=2^{\omega }$), вещественно полным пространством. Его клеточность и характер счётны ($c(L)=\omega$, $\chi (L)=\omega$), а вес — несчётен ($w(L)=2^{\omega }$). При этом не является счётно паракомпактным, слабо паракомпактным, локально компактным пространством.

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 48,50,54,60,63,68,86,118,122,293. — 752 с.