Принцип двойственности (теория множеств)

Принцип двойственности в теории множеств — утверждение о свойствах операций над множествами.

Формулировка

Пусть дано множество $M$. Рассмотрим систему всех его подмножеств. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества $M$, которая формулируется лишь с использованием операций объединения ($A\cup B$), пересечения ($A\cap B$) и дополнения (${\overline {A}}$), то верна также и теорема, получающаяся из данной путём замены операции объединения и пересечения соответственно операциями пересечения и объединения, пустого множества $\emptyset$ — множеством $M$, а множества $M$ — пустым множеством.

Примеры

• Теорема. Для любых подмножеств $A$, $B$ и $C$ множества $M$ верно, что $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$.

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$.

• Теорема. Для любого подмножества $A$ множества $M$ верно, что $A\cap {\overline {A}}=\emptyset$.

Из данной (верной) теоремы по принципу двойственности может быть получено аналогичное утверждение со следующим равенством: $A\cup {\overline {A}}=M$.

Важно отметить, что принцип двойственности применим только в тех случаях, когда утверждение теоремы постулирует равенство двух выражений над множествами; в других случаях он может нарушаться. Например, для любых подмножеств $A$ и $B$ множества $M$ верно, что $A\cap B\subseteq A\cup B$; однако двойственное утверждение ($A\cup B\subseteq A\cap B$) неверно.

Литература

• Двойственности принцип // Гоголь — Дебит. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 7).