Формула Ито

Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.

Определение

Дан случайный процесс $X=(X_{t})_{t\geqslant 0}$, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве ${\big (}\Omega ,{\mathfrak {F}},({\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0},P{\big )}$ с потоком $({\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0}$.

Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение $dX_{t}=a(t,\omega )\,dt+b(t,\omega )\,dB_{t}$, или, в интегральной форме,

$X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}a(s,\omega )\,ds+\int \limits _{0}^{t}b(s,\omega )\,dB_{s},$

где $B=(B_{t},{\mathfrak {F}}_{t})_{t\geqslant 0}$ — броуновское движение.

Пусть теперь $F(t,x)$ — заданная на $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R}$ непрерывная функция из класса $C^{1,2}$, то есть имеющая производные ${\frac {\partial F}{\partial t}},\ {\frac {\partial F}{\partial x}},\ {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}.$

При этих предположениях выполняется

$dF(t,X_{t})=\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}+a(t,\omega ){\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}b^{2}(t,\omega ){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right]\,dt+{\frac {\partial F}{\partial x}}b(t,\omega )\,dB_{t}.$

Говоря более строго, при каждом $t>0$ для $F(t,X_{t})$ справедлива следующая формула Ито:

$F(t,X_{t})=F(0,X_{0})+\int \limits _{0}^{t}\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}+a(s,\omega ){\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}b^{2}(s,\omega ){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right]\,ds+\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial F}{\partial x}}b(s,\omega )\,dB_{s}.$

См. также

• Стохастическое дифференциальное уравнение
• Формула Фейнмана — Каца
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнение Фоккера — Планка

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения