Неравенство Бесселя

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента $x$ в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Формулировка

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и $e_{1},e_{2},...$ — ортонормированная последовательность элементов $H$. Тогда для произвольного $x\in H$ выполняется неравенство:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает скалярное произведение в пространстве $H$.

Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

$0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},$

которое выполняется для произвольного $n\geq 1$.

См. также

• Равенство Парсеваля

Ссылки

• Bessel's Inequality статья на сайте MathWorld.
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — 140 с. — ISBN УДК 517.98(042.4) (недоступная ссылка)

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-x ч. Часть II. — 4-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 464 с. — ISBN 5-9221-0131-5.