В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид
L
y
=
f
{\displaystyle Ly=f}
где дифференциальный оператор L линеен , y — известная функция
y
=
y
(
t
)
{\displaystyle y=y(t)}
f
=
f
(
t
)
{\displaystyle f=f(t)}
y .
Линейный оператор L можно рассматривать в форме
L
n
(
y
)
≡
d
n
y
d
t
n
+
A
1
(
t
)
d
n
−
1
y
d
t
n
−
1
+
⋯
+
A
n
−
1
(
t
)
d
y
d
t
+
A
n
(
t
)
y
{\displaystyle L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y}
При этом, если
f
(
t
)
≡
0
{\displaystyle f(t)\equiv 0}
однородным неоднородным
Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид
p
n
(
x
)
y
(
n
)
(
x
)
+
p
n
−
1
(
x
)
y
(
n
−
1
)
(
x
)
+
⋯
+
p
0
(
x
)
y
(
x
)
=
r
(
x
)
{\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x)}
Уравнение Коши — Эйлера , используемое в инженерии , является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами
x
n
y
(
n
)
(
x
)
+
a
n
−
1
x
n
−
1
y
(
n
−
1
)
(
x
)
+
⋯
+
a
0
y
(
x
)
=
0
{\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0}
Пример
Решение уравнения
y
′
(
x
)
+
3
y
(
x
)
=
2
{\displaystyle y'\left(x\right)+3y\left(x\right)=2}
с начальными условиями
y
(
0
)
=
2
{\displaystyle y\left(0\right)=2}
Имеем решение в общем виде
y
=
e
−
3
x
(
∫
2
e
3
x
d
x
+
κ
)
{\displaystyle y=e^{-3x}\left(\int 2e^{3x}\,dx+\kappa \right)}
Решение неопределённого интеграла
y
=
e
−
3
x
(
2
/
3
e
3
x
+
κ
)
{\displaystyle y=e^{-3x}\left(2/3e^{3x}+\kappa \right)}
Можно упростить до
y
=
2
/
3
+
κ
e
−
3
x
{\displaystyle y=2/3+\kappa e^{-3x}}
где
κ
=
{\displaystyle \kappa =}
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид
y
′
(
x
)
+
f
(
x
)
y
(
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x)}
Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель
e
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle e^{\int f(x)\,dx}}
Уравнение запишется
y
′
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
+
f
(
x
)
y
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
=
g
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle y'(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},}
В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения
(
y
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
)
′
=
g
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \left(y(x)e^{\int f(x)\,dx}\right)'=g(x)e^{\int f(x)\,dx}}
Что, после интегрирования обеих частей, приводит к
y
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫
g
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
d
x
+
C
,
{\displaystyle y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C~,}
y
(
x
)
=
∫
g
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
d
x
+
C
e
∫
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle y(x)={\dfrac {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+C}{e^{\int f(x)\,dx}}}~.}
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
y
′
(
x
)
+
f
(
x
)
y
(
x
)
=
g
(
x
)
,
{\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x),}
(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид
y
(
x
)
=
e
−
∫
f
(
x
)
d
x
(
∫
g
(
x
)
e
∫
f
(
x
)
d
x
d
x
+
C
)
{\displaystyle y(x)=e^{-{\int {f(x)\,dx}}}\left(\int g(x)e^{\int {f(x)\,dx}}\,dx+C\right)}
где
C
{\displaystyle C}
Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:
d
y
d
x
+
b
y
=
1.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+by=1.}
Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер [неизвестный термин системы.
В этом случае p (x ) = b, r (x ) = 1.
Следовательно, решение будет:
y
(
x
)
=
e
−
b
x
(
e
b
x
/
b
+
C
)
=
1
/
b
+
C
e
−
b
x
.
{\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left(e^{bx}/b+C\right)=1/b+Ce^{-bx}.}
