Бесконечный телескоп

Бесконечный телескоп — трюк в доказательстве, основанный на парадоксальных свойствах бесконечных сумм. В геометрической топологии он был использован Барри Мазуром и часто называется мошенничеством Мазура или телескоп Мазура (см. телескопическая сумма). В алгебре он был введен Сэмюэлем Эйленбергом и известен как мошенничество Эйленберга или телескоп Эйленберга.

Идея основана на следующем шутошном доказательстве того, что 1 = 0:

1 = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0

Разумеется так рассуждать нельзя, потому как ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + ... не сходится. Однако этот трюк можно использовать для некоторых объектов если подобные бесконечные суммы имеют смысл.

Пример

Типичным применением бесконечного телескопа является доказательство того, что связная сумма $A\#B$ двух нетривиальных узлов $A$ и $B$ нетривиальна. Для узлов можно брать бесконечные суммы, делая узлы все меньше и меньше (при этом обычно получается дикий узел) так что если узел $A\#B$ тривиален, то тоже верно про узел

$A=A\#(B\#A)\#(B\#A)\#\cdots =(A\#B)\#(A\#B)\#\cdots .$

Литература

• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — ISBN 5-94057-220-0.